Regional Mathematical Olympiad 1994

Sum of page numbers on torn leaf of a book

A leaf is torn from a paperback novel. The sum of the numbers on the remaining pages is 15000. Find the numbers of the pages on the torn leaf.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa dei numeri di pagina su una foglia strappata di un libro

Una foglia è strappata da un romanzo di carta. La somma dei numeri sulle pagine restanti è di 15000. Trova i numeri delle pagine sulla foglia strappata.

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Incircle of triangle touches sides; find sides given concurrency

In the triangle $ABC$, the incircle touches the sides $BC$, $CA$ and $AB$ respectively at $D$, $E$ and $F$. If the radius of the incircle is 4 units and if $BD$, $CE$ and $AF$ are consecutive integers, find the sides of the triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’incircolo del triangolo tocca i lati; trovare i lati dati la simultanea

Nel triangolo $ABC$, l’incircolo tocca i lati $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente a $D$, $E$ e $F$. Se il raggio dell’incircolo è di 4 unità e se $BD$, $CE$ e $AF$ sono numeri interi consecutivi, trovare i lati del triangolo $ABC$.

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6-digit numbers with digits 1–6 each once, divisible by k for 1 to 6

Find all 6-digit natural numbers $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6$ formed by using the digits $1,2,3,4,5,6$ once each such that the number $a_1{a}_2\cdots a_k$ is divisible by $k$, for $1\le k\le 6$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

numeri a 6 cifre con cifre 16 ciascuna una volta, divisibili per k per 1 a 6

Trova tutti i numeri naturali a 6 cifre $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6$ formati utilizzando i numeri $1,2,3,4,5,6$ una volta che ciascuno sia tale che il numero $a_1{a}_2\cdots a_k$ sia divisibile da $k$, per $1\le k\le 6$.

src_rmo_1994__Q03

Solve a system of equations in real x and y

Solve the system of equations for real $x$ and $y$: $5x\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=12$ $5y\left(1-\frac{1}{x^2+y^2}\right)=4.$

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi un sistema di equazioni in x e y reali

Risolvere il sistema di equazioni per $x$ e $y$ reali: $5x\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=12$ $5y\left(1-\frac{1}{x^2+y^2}\right)=4.$

src_rmo_1994__Q04

Set of 16 positive integers with pairwise product not exceeding 1994

Let $A$ be a set of 16 positive integers with the property that the product of any two distinct numbers of $A$ will not exceed 1994. Show that there are two numbers $a$ and $b$ in $A$ which are not relatively prime.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

insieme di 16 integri positivi con prodotto in coppia non superiore al 1994

$A$ sia un insieme di 16 integri positivi con la proprietà che il prodotto di due numeri distinti di $A$ non supererà il 1994. Mostrare che ci sono due numeri $a$ e $b$ in $A$ che non sono relativamente primi.

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Two chords at right angles; midpoints form a parallelogram

Let $AC$ and $BD$ be two chords of a circle with center $O$ such that they intersect at right angles inside the circle at the point $M$. Suppose $K$ and $L$ are the mid-points of the chord $AB$ and $CD$ respectively. Prove that $OKML$ is a parallelogram.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due accordi ad angolo retto; i punti medi formano un parallelo

Che $AC$ e $BD$ siano due accordi di un cerchio con centro $O$ in modo tale che si intersecano a angolo retto all’interno del cerchio al punto $M$. Supponiamo che $K$ e $L$ siano rispettivamente i punti di mezzo dell’accordo $AB$ e $CD$. Prova che $OKML$ è un parallelo.

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Count rationals m/n with 0 < m/n < 1, gcd(m,n)=1, mn = 25!

Find the number of all rational numbers $m/n$ such that (a) $0<m/n<1$, (b) $m$ and $n$ are relatively prime, (c) $mn=25!$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i razionali m/n con 0 < m/n < 1, gcd(m,n) = 1, mn = 25!

Trova il numero di tutti i numeri razionali $m/n$ in modo tale che (a) $0<m/n<1$, (b) $m$ e $n$ siano relativamente primi, (c) $mn=25!$.

src_rmo_1994__Q07

Prove inequality (1+a)(1+b)(1+c) >= 8(1-a)(1-b)(1-c)

If $a$, $b$ and $c$ are positive real numbers such that $a+b+c=1$, prove that $(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8(1-a)(1-b)(1-c).$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Prove la disuguaglianza (1+a)

Se $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali positivi come $a+b+c=1$, dimostrare che $(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8(1-a)(1-b)(1-c).$

src_rmo_1994__Q08