Regional Mathematical Olympiad 1995

Triangle ABC with points K,L on BC; AL bisects angle KAC

In triangle $ABC$, $K$ and $L$ are points on the side $BC$ ($K$ being closer to $B$ than $L$) such that $BC\cdot KL=BK\cdot CL$ and $AL$ bisects $\angle KAC$. Show that $AL$ is perpendicular to $AB$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con punti K,L su BC; AL divide angolo KAC

Nel triangolo $ABC$, $K$ e $L$ sono punti sul lato $BC$ ($K$ sono più vicini a $B$ che a $L$) in modo tale che $BC\cdot KL=BK\cdot CL$ e $AL$ bisecciano $\angle KAC$. Indicare che $AL$ è perpendicolare a $AB$.

src_rmo_1995__Q01

Positive integer n is good if there exist n integers with equal product and sum

Call a positive integer $n$ good if there are $n$ integers, positive or negative, and not necessarily distinct, such that their product and sum are both equal to $n$ (e.g., $8$ is good since $8=4\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot (-1)(-1)=4+2+1+1+1+(-1)+(-1)$). Show that integers of the form $4k+1$ ($k\ge 0$) and $4l$ ($l\ge 2$) are good.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Un intero positivo n è buono se esistono n interi con prodotto e somma uguali

Indicare un intero positivo $n$ buono se ci sono $n$ integri positivi o negativi, e non necessariamente distinti, in modo tale che il loro prodotto e la loro somma siano entrambi uguali a $n$ (ad esempio, $8$ è buono dal momento che $8=4\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot (-1)(-1)=4+2+1+1+1+(-1)+(-1)$). Indicare che gli integri del modulo $4k+1$ ($k\ge 0$) e $4l$ ($l\ge 2$) sono good.

src_rmo_1995__Q02

Among any 18 consecutive 3-digit numbers, one is divisible by sum of its digits

Prove that among any $18$ consecutive $3$-digit numbers there is at least one number which is divisible by the sum of its digits.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tra tutti i 18 numeri a 3 cifre consecutivi, uno è divisibile per la somma delle sue cifre

Prove che tra tutti i numeri $18$ di $3$ ci sono almeno un numero divisibile dalla somma delle sue cifre.

src_rmo_1995__Q03

Quadratic x^2 + 7x - 14(q^2+1) with integer q has no integer root

Show that the quadratic expression $x^2+7x-14(q^2+1)=0,$ where $q$ is an integer, has no integer root.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Quadratici x^2 + 7x - 14(q^2+1) con q intero non hanno radice di numero intero

Mostra che l’espressione quadrata $x^2+7x-14(q^2+1)=0,$ dove $q$ è un intero, non ha radice di numero intero.

src_rmo_1995__Q04

Triangle inequality: a^2+b^2+c^2 > sqrt(3) max{|a^2-b^2|,|b^2-c^2|,|c^2-a^2|}

Show that for any triangle $ABC$, the following inequality is true: $a^2+b^2+c^2>\sqrt{3}\max \{|a^2-b^2|,|b^2-c^2|,|c^2-a^2|\},$ where $a$, $b$, $c$ are, as usual, the sides of the triangle.

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

*ineguaglianza triangolare: a^2+b^2+c^2 > sqrt(3) max{a^2^2-b

Mostrare che per qualsiasi triangolo $ABC$, la seguente disuguaglianza è vera: $a^2+b^2+c^2>\sqrt{3}\max \{|a^2-b^2|,|b^2-c^2|,|c^2-a^2|\},$ dove $a$, $b$, $c$ sono, come al solito, i lati del triangolo.

src_rmo_1995__Q05

21-sided regular polygon inscribed in circle; count triangles containing center

Let $A_1{A}_2{A}_3\dots A_{21}$ be a $21$-sided regular polygon inscribed in a circle with center $O$. How many triangles $A_i{A}_j{A}_k$, $1\le i<j<k\le 21$, contain the point $O$ in their interior?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Simmetria, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Poligono regolare a 21 lati inciso in cerchio; triangoli di conteggio contenenti il centro*

Il $A_1{A}_2{A}_3\dots A_{21}$ deve essere un poligono regolare laterale $21$ inciso in un cerchio con il centro $O$. Quanti triangoli $A_i{A}_j{A}_k$, $1\le i<j<k\le 21$ contengono il punto $O$ all’interno?

src_rmo_1995__Q06

Prove x^2 sin x + x cos x + x^2 + 1/2 > 0 for all real x

Show that for any real number $x$, $x^2\sin x+x\cos x+x^2+\frac{1}{2}>0.$

Topic: Disuguaglianze, Trigonometria Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Prove x^2 sin x + x cos x + x^2 + 1/2 > 0 per tutte le vere x

Indicare che per qualsiasi numero reale $x$, $x^2\sin x+x\cos x+x^2+\frac{1}{2}>0.$

src_rmo_1995__Q07