Regional Mathematical Olympiad 1996

Triangle with consecutive integer sides and inradius 4; find circumradius

The sides of a triangle are three consecutive integers and its inradius is four units. Determine the circumradius.

Topic: Geometria piana Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con lati integri consecutivi e raggio 4; ritrovare il raggio circundato

I lati di un triangolo sono tre numeri interi consecutivi e il suo raggio è di quattro unità. Determina il circondario.

src_rmo_1996__Q01

Find all positive integer triples (a,b,c) satisfying a product-of-fractions equation

Find all triples $(a,b,c)$ of positive integers such that $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=3.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli numeri interi positivi (a,b,c) che soddisfano un’equazione prodotto dalle frazioni

Trovare tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi in modo tale che $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=3.$

src_rmo_1996__Q02

Solve a system of two polynomial equations in real x and y

Solve for real numbers $x$ and $y$: $x{y}^2=15x^2+17xy+15y^2$ $x^{2}y=20x^2+3y^2.$

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi un sistema di due equazioni polinomiche in x e y reali

Risolvere per i numeri reali $x$ e $y$: $x{y}^2=15x^2+17xy+15y^2$ $x^{2}y=20x^2+3y^2.$

src_rmo_1996__Q03

n-digit number with distinct digits and every 3 consecutive digits divisible by 5

Suppose $N$ is an $n$-digit positive integer such that (a) all the $n$-digits are distinct; and (b) the sum of any three consecutive digits is divisible by 5.

Prove that $n$ is at most 6. Further, show that starting with any digit one can find a six-digit number with these properties.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

numero a cifre n con cifre distinte e ogni 3 cifre consecutive divisibili per 5

Supponiamo che $N$ sia un numero intero positivo di $n$ cifre tale che (a) tutti i cifre $n$ siano distinti; e (b) la somma di qualsiasi tre cifre consecutive sia divisibile per 5.

Provare che $n$ è massimo di 6. Inoltre, mostrare che a partire da qualsiasi cifra si può trovare un numero a sei cifre con queste proprietà.

src_rmo_1996__Q04

In triangle ABC prove $(b+c{)}^2\ge a^2+4h_a^2$

Let $ABC$ be a triangle and $h_a$ the altitude through $A$. Prove that $(b+c{)}^2\ge a^2+4h_a^2.$ (As usual $a$, $b$, $c$ denote the sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively.)

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

In triangolo ABC prova $(b+c{)}^2\ge a^2+4h_a^2$

Che $ABC$ sia un triangolo e $h_a$ l’altitudine attraverso $A$. Prove che $(b+c{)}^2\ge a^2+4h_a^2.$ (Come al solito $a$, $b$, $c$ indicano rispettivamente i lati $BC$, $CA$ e $AB$.)

src_rmo_1996__Q05

For any positive integer n, construct two non-integer rationals whose power differences are integers

Given any positive integer $n$ show that there are two positive rational numbers $a$ and $b$, $a\ne b$, which are not integers and which are such that $a-b$, $a^2-b^2$, $\dots$, $a^n-b^n$ are all integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per qualsiasi numero intero positivo n, costruire due razionali non integrali le cui differenze di potenza sono interi

Dato qualsiasi numero intero positivo $n$ mostrano che ci sono due numeri razionali positivi $a$ e $b$, $a\ne b$, che non sono interi e che sono tali che $a-b$, $a^2-b^2$, $\dots$, $a^n-b^n$ sono tutti interi.

src_rmo_1996__Q06

50-element subset of {1,…,100} with no two elements summing to 100 contains a square

If $A$ is a fifty-element subset of the set $\{1,2,3,\dots ,100\}$ such that no two numbers from $A$ add up to 100, show that $A$ contains a square.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Un sottogruppo di 50 elementi di {1,…,100} senza due elementi che sommano a 100 contiene un quadrato

Se $A$ è un sottoinsieme di cinquanta elementi del set $\{1,2,3,\dots ,100\}$ in modo tale che non ci siano due numeri da $A$ sommati fino a 100, indicare che $A$ contiene un quadrato.

src_rmo_1996__Q07