Regional Mathematical Olympiad 1998

Find angle AEB in convex quadrilateral with given angles

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral in which $\angle BAC=50^{\circ }$, $\angle CAD=60^{\circ }$, $\angle CBD=30^{\circ }$, and $\angle BDC=25^{\circ }$. If $E$ is the point of intersection of $AC$ and $BD$, find $\angle AEB$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trovare angolo AEB in quadrilaterali convexi con angoli dati

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convexo in cui $\angle BAC=50^{\circ }$, $\angle CAD=60^{\circ }$, $\angle CBD=30^{\circ }$ e $\angle BDC=25^{\circ }$. Se $E$ è il punto di intersezione di $AC$ e $BD$, trovare $\angle AEB$.

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6 divides sum of squares of primes greater than 5 implies 6 divides n

Let $n$ be a positive integer and $p_1,p_2,\dots ,p_n$ be $n$ prime numbers all larger than $5$ such that $6$ divides $p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2$. Prove that $6$ divides $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

6 divide la somma dei quadrati di numeri primi superiori a 5 implica 6 divisi n

Che $n$ sia un intero positivo e $p_1,p_2,\dots ,p_n$ $n$ siano numeri primi tutti più grandi di $5$ in modo tale che $6$ divida $p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2$. Provare che $6$ divide $n$.

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Inequality between odd and even reciprocal sums

Prove the following inequality for every natural number $n$: $\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{2n-1}\right)>\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{2n}\right).$

Topic: Disuguaglianze, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ineguaglianza fra somme parie e pari reciproche

Provare la seguente disuguaglianza per ogni numero naturale $n$: $\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{2n-1}\right)>\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{2n}\right).$

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Reflections of vertices of isosceles triangle form equilateral triangle

Let $ABC$ be a triangle with $AB=BC$ and $\angle BAC=30^{\circ }$. Let $A^{\prime }$ be the reflection of $A$ in the line $BC$; $B^{\prime }$ be the reflection of $B$ in the line $CA$; $C^{\prime }$ be the reflection of $C$ in the line $AB$. Show that $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ form the vertices of an equilateral triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I riflessi delle vertici del triangolo di uguali pollici formano un triangolo equilaterale

Il $ABC$ deve essere un triangolo con $AB=BC$ e $\angle BAC=30^{\circ }$. Il $A^{\prime }$ deve essere il riflesso di $A$ nella riga $BC$; $B^{\prime }$ deve essere il riflesso di $B$ nella riga $CA$; $C^{\prime }$ deve essere il riflesso di $C$ nella riga $AB$. Indicare che $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ formano le vertici di un triangolo equilaterale.

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Minimum lcm of twenty natural numbers summing to 801

Find the minimum possible least common multiple (lcm) of twenty (not necessarily distinct) natural numbers whose sum is $801$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum lcm di venti numeri naturali che sommano 801

Trovare il minimo possibile più piccolo comune multiplo (lcm) di venti (non necessariamente distinti) numeri naturali la cui somma è $801$.

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Find a collection of 3-element subsets of 7-element set covering each pair exactly once

Given the $7$-element set $A=\{a,b,c,d,e,f,g\}$, find a collection $T$ of $3$-element subsets of $A$ such that each pair of elements from $A$ occurs exactly in one of the subsets of $T$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova una raccolta di sottoinsiemi di 3 elementi di set di 7 elementi che coprono ogni coppia esattamente una volta

Data la serie $7$ di elementi $A=\{a,b,c,d,e,f,g\}$, trovare una raccolta $T$ di $3$ di sottoinsiemi di $A$ in modo tale che ogni coppia di elementi di $A$ si trovi esattamente in uno dei sottoinsiemi di $T$.

src_rmo_1998__Q06