Regional Mathematical Olympiad 1999

Inradius of right-angled triangle with integer sides is integer

Prove that the inradius of a right-angled triangle with integer sides is an integer.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il raggio di un triangolo rettangolare con lati interi è un intero

Prove che l’inradio di un triangolo rettangolo con lati interi è un intero.

src_rmo_1999__Q01

Count positive integers dividing $10^{999}$ but not $10^{998}$

Find the number of positive integers which divide $10^{999}$ but not $10^{998}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare interi positivi che dividono $10^{999}$ ma non $10^{998}$

Trova il numero di interi positivi che dividono $10^{999}$ ma non $10^{998}$.

src_rmo_1999__Q02

Square $ABCD$, midpoint $R$ of $MN$, show $RP=RQ$

Let $ABCD$ be a square and $M,N$ points on sides $AB,BC$, respectably, such that $\angle MDN=45^{\circ }$. If $R$ is the midpoint of $MN$ show that $RP=RQ$ where $P,Q$ are the points of intersection of $AC$ with the lines $MD,ND$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadro $ABCD$, punto medio $R$ di $MN$, mostra $RP=RQ$

Il $ABCD$ deve essere quadrato e $M,N$ punti sui lati $AB,BC$, rispettivamente, in modo tale che $\angle MDN=45^{\circ }$. Se $R$ è il punto medio di $MN$, indicare che $RP=RQ$ dove $P,Q$ sono i punti di intersezione di $AC$ con le linee $MD,ND$.

src_rmo_1999__Q03

Roots of cubic with special form imply $p=q=r$

If $p,q,r$ are the roots of the cubic equation $x^3-3p{x}^2+3q^{2}x-r^3=0$, show that $p=q=r$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rede di cubo con forma speciale implicano $p=q=r$

Se $p,q,r$ sono le radici dell’equazione cubica $x^3-3p{x}^2+3q^{2}x-r^3=0$, indicare che $p=q=r$.

src_rmo_1999__Q04

Triangle sides inequality with cyclic fractions $\ge 3$

If $a,b,c$ are the sides of a triangle prove the following inequality: $\frac{a}{c+a-b}+\frac{b}{a+b-c}+\frac{c}{b+c-a}\ge 3.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Side di triangolo disuguaglianza con frazioni cicliche $\ge 3$

Se $a,b,c$ sono i lati di un triangolo dimostrano la seguente disuguaglianza: $\frac{a}{c+a-b}+\frac{b}{a+b-c}+\frac{c}{b+c-a}\ge 3.$

src_rmo_1999__Q05

Find all integer solutions of $(m-n{)}^2=\frac{4mn}{m+n-1}$

Find all solutions in integers $m,n$ of the equation $(m-n{)}^2=\frac{4mn}{m+n-1}.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali di $(m-n{)}^2=\frac{4mn}{m+n-1}$

Trova tutte le soluzioni in numeri interi $m,n$ dell’equazione $(m-n{)}^2=\frac{4mn}{m+n-1}.$

src_rmo_1999__Q06

Count quadratic polynomials $a{x}^2+bx+c$ divisible by $x+1$

Find the number of quadratic polynomials, $a{x}^2+bx+c$, which satisfy the following conditions: (a) $a,b,c$ are distinct; (b) $a,b,c\in \{1,2,3,\dots 1999\}$ and (c) $x+1$ divides $a{x}^2+bx+c$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare polinomi quadrati $a{x}^2+bx+c$ divisibili per $x+1$

Trova il numero di polinomi quadratici, $a{x}^2+bx+c$, che soddisfano le seguenti condizioni: (a) $a,b,c$ sono distinti; (b) $a,b,c\in \{1,2,3,\dots 1999\}$ e (c) $x+1$ dividono $a{x}^2+bx+c$.

src_rmo_1999__Q07