Regional Mathematical Olympiad 2000

Construct isosceles triangles with 120-degree apex, show PQR equilateral

Let $AC$ be a line segment in the plane and $B$ a point between $A$ and $C$. Construct isosceles triangles $PAB$ and $QBC$ on one side of the segment $AC$ such that $\angle APB=\angle BQC=120^{\circ }$, and an isosceles triangle $RAC$ on the other side of $AC$ such that $\angle ARC=120^{\circ }$. Show that $PQR$ is an equilateral triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Construire triangoli con un’anca uguale a 120 gradi, mostrando il PQR equilaterale

Il $AC$ deve essere un segmento di linea nel piano e $B$ un punto tra $A$ e $C$. Costruire triangoli $PAB$ e $QBC$ su un lato del segmento $AC$ in modo tale che $\angle APB=\angle BQC=120^{\circ }$, e un triangole $RAC$ su un altro lato di $AC$ in modo tale che $\angle ARC=120^{\circ }$. Mostra che $PQR$ è un triangolo equilaterale.

src_rmo_2000__Q01

Solve y^3 = x^3 + 8x^2 - 6x + 8 in positive integers

Solve the equation $y^3=x^3+8x^2-6x+8$, for positive integers $x$ and $y$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Risolvi y^3 = x^3 + 8x^2 - 6x + 8 in numeri interi positivi

Risolvere l’equazione $y^3=x^3+8x^2-6x+8$, per gli integri positivi $x$ e $y$.

src_rmo_2000__Q02

Decreasing sequence with bounded partial sums; prove sum of 1/k terms < 3

Suppose $(x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots )$ is a sequence of positive real numbers such that $x_1\ge x_2\ge x_3\ge \cdots \ge x_n\cdots$, and for all $n$ $\frac{x_1}{1}+\frac{x_4}{2}+\frac{x_9}{3}+\cdots +\frac{x_{n^2}}{n}<1.$ Show that for all $k$ the following inequality is satisfied: $\frac{x_1}{1}+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{3}+\cdots +\frac{x_k}{k}<3.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza diminuente con somme parziali limitate; prova somma di termini 1/k < 3

Supponiamo che $(x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots )$ sia una sequenza di numeri reali positivi come $x_1\ge x_2\ge x_3\ge \cdots \ge x_n\cdots$, e per tutti $n$ $\frac{x_1}{1}+\frac{x_4}{2}+\frac{x_9}{3}+\cdots +\frac{x_{n^2}}{n}<1.$ Mostri che per tutti $k$ è soddisfatta la seguente disuguaglianza: $\frac{x_1}{1}+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{3}+\cdots +\frac{x_k}{k}<3.$

src_rmo_2000__Q03

7-digit numbers with digits 1-7 each once, not divisible by 5, find 2000th in order

All the 7-digit numbers containing each of the digits $1,2,3,4,5,6,7$ exactly once, and not divisible by $5$, are arranged in the increasing order. Find the 2000th number in this list.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

numeri a 7 cifre con cifre da 1-7 ogni volta, non divisibili per 5, trovare 2000° nell’ordine

Tutti i numeri a 7 cifre contenenti ciascuna delle cifre $1,2,3,4,5,6,7$ esattamente una volta, e non divisibili da $5$, sono disposti nell’ordine crescente. Trova il numero 2000 in questa lista.

src_rmo_2000__Q04

Angle bisector meets circumcircle at D; show BE perpendicular to AD and AO parallel to BD

The internal bisector of angle $A$ in a triangle $ABC$ with $AC>AB$, meets the circumcircle $\Gamma$ of the triangle in $D$. Join $D$ to the centre $O$ of the circle $\Gamma$ and suppose $DO$ meets $AC$ in $E$, possibly when extended. Show that $BE$ is perpendicular to $AD$, show that $AO$ is parallel to $BD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il bisettore angolare incontra il circoncircolo a D; mostra BE perpendicolare ad AD e AO parallelo a BD

Il bisettore interno dell’angolo $A$ in un triangolo $ABC$ con $AC>AB$ incontra il circoncircolo $\Gamma$ del triangolo in $D$. Unire $D$ al centro $O$ del cerchio $\Gamma$ e supporre che $DO$ incontra $AC$ in $E$, eventualmente se esteso. Indicare che $BE$ è perpendicolare a $AD$, indicare che $AO$ è parallelo a $BD$.

src_rmo_2000__Q05

Find least value of ab such that a^n b^(n+1) is divisible by 2000 for all n

(i) Consider two positive integers $a$ and $b$ such that $a^n{b}^{n+1}$ is divisible by $2000$ for every positive integer $n$. What is the least possible value of the product $ab$?

(ii) Consider two positive integers $a$ and $b$ which are such that $a^n{b}^{n+1}$ is divisible by $2000$ for some positive integer $n$. What is the least possible value of the product $ab$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il valore minimo di ab in modo tale che a^n b^(n+1) sia divisibile per 2000 per tutte le n

(i) Considerare due integri positivi $a$ e $b$ in modo tale che $a^n{b}^{n+1}$ sia divisibile da $2000$ per ogni intero positivo $n$. Qual è il valore minimo possibile del prodotto $ab$?

(ii) Considerare due integri positivi $a$ e $b$ che sono tali che $a^n{b}^{n+1}$ sia divisibile da $2000$ per qualche integro positivo $n$. Qual è il valore minimo possibile del prodotto $ab$?

src_rmo_2000__Q06

Find all real a for which x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0 has all real roots

Find all real values of $a$ for which the equation $x^4-2a{x}^2+x+a^2-a=0$ has all its roots real.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le a reali per le quali x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0 ha tutte le radici reali

Trova tutti i valori reali di $a$ per i quali l’equazione $x^4-2a{x}^2+x+a^2-a=0$ ha tutte le sue radici reali.

src_rmo_2000__Q07