Regional Mathematical Olympiad 2001

Altitudes, cyclic quads, parallelism of FM and EN

Let $BE$ and $CF$ be the altitudes of an acute triangle $ABC$, with $E$ on $AC$ and $F$ on $AB$. Let $O$ be the point of intersection of $BE$ and $CF$. Take any line $KL$ through $O$ with $K$ on $AB$ and $L$ on $AC$. Suppose $M$ and $N$ are located on $BE$ and $CF$ respectively such that $KM$ is perpendicular to $BE$ and $LN$ is perpendicular to $CF$. Prove that $FM$ is parallel to $EN$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Altezze, quadrati ciclici, parallele di FM e EN

$BE$ e $CF$ siano le altitudini di un triangolo acuto $ABC$, con $E$ su $AC$ e $F$ su $AB$. Il punto di intersezione di $BE$ e $CF$ è $O$. Prendi qualsiasi riga $KL$ passando da $O$ con $K$ su $AB$ e $L$ su $AC$. Supponiamo che $M$ e $N$ siano situate rispettivamente su $BE$ e $CF$ in modo tale che $KM$ sia perpendicolare a $BE$ e $LN$ sia perpendicolare a $CF$. Provare che $FM$ è parallelo a $EN$.

src_rmo_2001__Q01

Find all prime pairs p,q making p²+7pq+q² a perfect square

Find all primes $p,q$ such that $p^2+7pq+q^2$ is the square of an integer.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le coppie prime p,q che rendono p2 + 7pq + q2 un quadrato perfetto

Trova tutti i numeri primi $p,q$ in modo tale che $p^2+7pq+q^2$ sia il quadrato di un intero.

src_rmo_2001__Q02

Count positive integers x with floor(x/99) = floor(x/101)

Find the number of positive integers $x$ which satisfy $\lfloor \frac{x}{99}\rfloor =\lfloor \frac{x}{101}\rfloor$.

(Here $\lfloor z\rfloor$ denotes, for any real $z$, the largest integer not exceeding $z$; e.g.\ $\lfloor 7/6\rfloor =1$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Conta i numeri interi positivi x con piano(x/99) = piano(x/101)

Trova il numero di integri positivi $x$ che soddisfano $\lfloor \frac{x}{99}\rfloor =\lfloor \frac{x}{101}\rfloor$.

(Qui $\lfloor z\rfloor$ indica, per qualsiasi $z$ reale, il più grande numero intero non superiore a $z$; ad esempio\ $\lfloor 7/6\rfloor =1$.)

src_rmo_2001__Q03

Symmetric n×n array with entries 1..n: diagonal is a permutation when n is odd

Consider an $n\times n$ array of numbers: $\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$ Suppose each of the $n$ numbers $1,2,\dots ,n$ occurs in some order, and $a_{ij}=a_{ji}$ for $i=1,2,\dots ,n$ and $j=1,2,\dots ,n$. If $n$ is odd, prove that the numbers $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ are $1,2,3,\dots ,n$ in some order.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Array simmetrico n×n con le voci 1..n: diagonale è una permutazione quando n è odd

Considera un array di numeri $n\times n$: $\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$ Supponiamo che ciascuno dei numeri $n$ $1,2,\dots ,n$ si verifichi in un certo ordine, e $a_{ij}=a_{ji}$ per $i=1,2,\dots ,n$ e $j=1,2,\dots ,n$. Se $n$ è impar, dimostrare che i numeri $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ sono $1,2,3,\dots ,n$ in un certo ordine.

src_rmo_2001__Q04

Triangle ABC with angle bisector AD, angle B=2C, CD=AB implies angle A=72°

In a triangle $ABC$, let $D$ be a point on $BC$ such that $AD$ is the internal bisector of $\angle A$. Suppose $\angle B=2\angle C$ and $CD=AB$. Prove that $\angle A=72^{\circ }$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con angolo bisector AD, angolo B=2C, CD=AB implica angolo A=72°

In un triangolo $ABC$, $D$ deve essere un punto su $BC$ tale che $AD$ sia il bisettore interno di $\angle A$. Supponiamo $\angle B=2\angle C$ e $CD=AB$. Dimostra che $\angle A=72^{\circ }$.

src_rmo_2001__Q05

For triangle sides x,y,z prove |x²(y−z)+y²(z−x)+z²(x−y)| < xyz

If $x,y,z$ are the sides of a triangle, then prove that $\left|x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\right|<xyz.$

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

*Per i lati del triangolo x,y,z \ \ provex2\y−z) +y2\z−x) +z2\x−y)

Se $x,y,z$ sono i lati di un triangolo, dimostrare che $\left|x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\right|<xyz.$

src_rmo_2001__Q06

Product of first 200 even integers minus product of first 200 odd integers is divisible by 401

Prove that the product of the first $200$ positive even integers differs from the product of the first $200$ positive odd integers by a multiple of $401$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il prodotto dei primi 200 interi pari meno il prodotto dei primi 200 interi unici è divisibile per 401

Prove che il prodotto dei primi $200$ pari interi positivi differisce dal prodotto dei primi $200$ integri unici positivi per un multiple di $401$.

src_rmo_2001__Q07