Regional Mathematical Olympiad 2002

Feet of cevians are altitudes iff given ratios hold

In an acute triangle $A B C$ , points $D$ , $E$ , $F$ are located on the sides $B C$ , $C A$ , $A B$ respectively such that $\frac{C D}{C E} = \frac{C A}{C B}, \frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A C}, \frac{B F}{B D} = \frac{B C}{B A} .$ Prove that $A D$ , $B E$ , $C F$ are the altitudes of $A B C$ .

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*I piedi dei ceviani sono le altitudini se i rapporti dati sostengono *

In un triangolo acuto $A B C$ , i punti $D$ , $E$ , $F$ si trovano rispettivamente sui lati $B C$ , $C A$ , $A B$ in modo tale che $\frac{C D}{C E} = \frac{C A}{C B}, \frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A C}, \frac{B F}{B D} = \frac{B C}{B A} .$ dimostri che $A D$ , $B E$ , $C F$ sono le altitudini di $A B C$ .

src_rmo_2002__Q01

Solve the equation $(x^{2} + x - 2)^{4} + (2 x^{2} - x - 1)^{4} = 27 (x^{2} - 1)^{4}$

Solve the following equation for real $x$ : $(x^{2} + x - 2)^{4} + (2 x^{2} - x - 1)^{4} = 27 (x^{2} - 1)^{4} .$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi l’equazione $(x^{2} + x - 2)^{4} + (2 x^{2} - x - 1)^{4} = 27 (x^{2} - 1)^{4}$

Risolvere la seguente equazione per $x$ reale: $(x^{2} + x - 2)^{4} + (2 x^{2} - x - 1)^{4} = 27 (x^{2} - 1)^{4} .$

src_rmo_2002__Q02

Show abc divides expansion of (a+b+c)^n

Let $a, b, c$ be positive integers such that $a$ divides $b^{5}$ , $b$ divides $c^{5}$ , and $c$ divides $a^{5}$ . Prove that $ab c$ divides $(a + b + c)^{31}$ .

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra abc divide l’espansione di (a+b+c)^n

$a, b, c$ siano integri positivi in modo tale che $a$ divida $b^{5}$ , $b$ divida $c^{5}$ e $c$ divida $a^{5}$ . Provare che $ab c$ divide $(a + b + c)^{31}$ .

src_rmo_2002__Q03

Integers 1..10 split into two collections with partition conditions

Suppose the integers $1, 2, 3, \dots, 10$ are split into two disjoint collections $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ and $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}$ such that $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5},$ $b_{1} > b_{2} > b_{3} > b_{4} > b_{5} .$ (i) Show that the larger number in any pair ${a_{j}, b_{j}}$ , $1 \leq j \leq 5$ , is at least $6$ .

(ii) Show that $∣ a_{1} - b_{1} ∣ + ∣ a_{2} - b_{2} ∣ + ∣ a_{3} - b_{3} ∣ + ∣ a_{4} - b_{4} ∣ + ∣ a_{5} - b_{5} ∣ = 25$ for every such partition.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Integri 1..10 suddivisi in due collezioni con condizioni di partizione

Supponiamo che i numeri interi $1, 2, 3, \dots, 10$ siano divisi in due collette disjointe $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ e $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}$ in modo tale che $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5},$ $b_{1} > b_{2} > b_{3} > b_{4} > b_{5} .$ (i) Mostri che il numero più grande in qualsiasi coppia ${a_{j}, b_{j}}$ , $1 \leq j \leq 5$ , è almeno $6$ .

(ii) Indicare che $∣ a_{1} - b_{1} ∣ + ∣ a_{2} - b_{2} ∣ + ∣ a_{3} - b_{3} ∣ + ∣ a_{4} - b_{4} ∣ + ∣ a_{5} - b_{5} ∣ = 25$ per ciascuna di tali partizioni.

src_rmo_2002__Q04

Circle divided by convex quadrilateral arcs; prove ABCD cyclic

The circumference of a circle is divided into eight arcs by a convex quadrilateral $A B C D$ , with four arcs lying inside the quadrilateral and the remaining four lying outside it. The lengths of the arcs lying inside the quadrilateral are denoted by $p, q, r, s$ in counter-clockwise direction starting from some arc. Suppose $p + r = q + s$ . Prove that $A B C D$ is a cyclic quadrilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo diviso da archi quadrilaterali convexi; prova ABCD ciclico

La circonferenza di un cerchio è divisa in otto archi da un quadrilaterale convex $A B C D$ , con quattro archi all’interno del quadrilaterale e i quattro rimanenti all’esterno. Le lunghezze degli archi all’interno del quadrilaterale sono indicate da $p, q, r, s$ in direzione contraria al senso dell’orologio partendo da un certo arco. Supponiamo $p + r = q + s$ . Provare che $A B C D$ è un quadrilaterale ciclico.

src_rmo_2002__Q05

Prove double inequality involving harmonic-type sum

For any natural number $n > 1$ , prove the inequality: $\frac{1}{2} < \frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{2}{n ^{2} + 2} + \frac{3}{n ^{2} + 3} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} .$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Telescoping, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricercare la doppia disuguaglianza con somma di tipo armonico

Per qualsiasi numero naturale $n > 1$ , dimostrare la disuguaglianza: $\frac{1}{2} < \frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{2}{n ^{2} + 2} + \frac{3}{n ^{2} + 3} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} .$

src_rmo_2002__Q06

Find all integers a,b,c,d satisfying two conditions

Find all integers $a, b, c, d$ satisfying the following relations: (i) $1 \leq a \leq b \leq c \leq d$ ; (ii) $ab + c d = a + b + c + d + 3$ .

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri a,b,c,d che soddisfano due condizioni

Trova tutti gli enti $a, b, c, d$ che soddisfano le seguenti relazioni: (i) $1 \leq a \leq b \leq c \leq d$ ; (ii) $ab + c d = a + b + c + d + 3$ .

src_rmo_2002__Q07

competition	Regional Mathematical Olympiad 2002
year	2002
level	RMO

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