Regional Mathematical Olympiad 2003

Triangle with AB=AC, right angle at A; prove angle MAN=45°

Let $ABC$ be a triangle in which $AB=AC$ and $\angle CAB=90^{\circ }$. Suppose $M$ and $N$ are points on the hypotenuse $BC$ such that $B{M}^2+C{N}^2=M{N}^2$. Prove that $\angle MAN=45^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con AB=AC, angolo retto in A; prova angolo MAN=45°

Si deve $ABC$ essere un triangolo in cui $AB=AC$ e $\angle CAB=90^{\circ }$. Supponiamo che $M$ e $N$ siano punti sull’ipotenusa $BC$ in modo tale che $B{M}^2+C{N}^2=M{N}^2$. Dimostra che $\angle MAN=45^{\circ }$.

src_rmo_2003__Q01

Prove C(n,7) minus floor(n/7) divisible by 7 for n>7

If $n$ is an integer greater than 7, prove that $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{7}\right)-\lfloor \frac{n}{7}\rfloor$ is divisible by 7. [Here $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{7}\right)$ denotes the number of ways of choosing 7 objects from among $n$ objects; also, for any real number $x$, $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer not exceeding $x$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove C(n,7) meno pavimento(n/7) divisibile per 7 per n>7

Se $n$ è un numero intero superiore a 7, dimostrare che $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{7}\right)-\lfloor \frac{n}{7}\rfloor$ è divisibile per 7. [Qui $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{7}\right)$ indica il numero di modi per scegliere 7 oggetti tra gli oggetti $n$; inoltre, per qualsiasi numero reale $x$, $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande non superiore a $x$.]

src_rmo_2003__Q02

Prove min of three expressions ≤1/4 and max ≥2/9 when a+b+c=1

Let $a,b,c$ be three positive real numbers such that $a+b+c=1$. Prove that among the three numbers $a-ab$, $b-bc$, $c-ca$ there is one which is at most $\frac{1}{4}$ and there is one which is at least $\frac{2}{9}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove min di tre espressioni ≤1/4 e max ≥2/9 quando a+b+c=1

$a,b,c$ siano tre numeri reali positivi come $a+b+c=1$. Prova che tra i tre numeri $a-ab$, $b-bc$, $c-ca$ c’è uno che è al massimo $\frac{1}{4}$ e c’è uno che è almeno $\frac{2}{9}$.

src_rmo_2003__Q03

Count ordered triples of nonneg integers with x≤y≤z, x+y+z≤100

Find the number of ordered triples $(x,y,z)$ of nonnegative integers satisfying the conditions: (i) $x\le y\le z$; (ii) $x+y+z\le 100$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i tripli ordinati di numeri interi non negativi con x≤y≤z, x+y+z≤100

Trova il numero di triples ordinati $(x,y,z)$ di enti interi non negativi che soddisfano le condizioni: (i) $x\le y\le z$; (ii) $x+y+z\le 100$.

src_rmo_2003__Q04

Interior point P with equal ratios of vertex-to-side distances; find common value

Suppose $P$ is an interior point of a triangle $ABC$ such that the ratios $\frac{d(A,BC)}{d(P,BC)},\frac{d(B,CA)}{d(P,CA)},\frac{d(C,AB)}{d(P,AB)}$ are all equal. Find the common value of these ratios. [Here $d(X,YZ)$ denotes the perpendicular distance from a point $X$ to the line $YZ$.]

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto interno P con uguali rapporti di distanze vertex-side; trovare valore comune

Supponiamo che $P$ sia un punto interno di un triangolo $ABC$ tale che i rapporti $\frac{d(A,BC)}{d(P,BC)},\frac{d(B,CA)}{d(P,CA)},\frac{d(C,AB)}{d(P,AB)}$ siano tutti uguali. Trova il valore comune di questi rapporti. [Qui $d(X,YZ)$ indica la distanza perpendicolare da un punto $X$ alla linea $YZ$.]

src_rmo_2003__Q05

Find all real a such that x²+(a-2)x+1=3|x| has exactly three distinct real solutions

Find all real numbers $a$ for which the equation $x^2+(a-2)x+1=3|x|$ has exactly three distinct real solutions in $x$.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Find all real a tale che x2+(a-2) x+1=3 di cui xx di cui ha esattamente tre soluzioni reali distinte

Trova tutti i numeri reali $a$ per i quali l’equazione $x^2+(a-2)x+1=3|x|$ ha esattamente tre soluzioni reali distinte in $x$.

src_rmo_2003__Q06

Find two disjoint nonempty subsets A,B of {1,…,10} minimising prod(A)/prod(B)

Consider the set $X=\{1,2,3,\dots ,9,10\}$. Find two disjoint nonempty subsets $A$ and $B$ of $X$ such that: (a) $A\cup B=X$; (b) $\mathrm{prod}(A)$ is divisible by $\mathrm{prod}(B)$, where for any finite set of numbers $C$, $\mathrm{prod}(C)$ denotes the product of all the numbers in $C$; (c) the quotient $\mathrm{prod}(A)/\mathrm{prod}(B)$ is as small as possible.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Ricerca due sottogruppi non vuoti A,B di {1,…,10} che riducono al minimo il prodotto A)/prod(B) *

Considera l’insieme $X=\{1,2,3,\dots ,9,10\}$. Trova due sottinsiemi non vuoti $A$ e $B$ di $X$ in modo tale che: (a) $A\cup B=X$; (b) $\mathrm{prod}(A)$ sia divisibile da $\mathrm{prod}(B)$, dove per qualsiasi insieme finito di numeri $C$, $\mathrm{prod}(C)$ indica il prodotto di tutti i numeri di $C$; (c) il quotiente $\mathrm{prod}(A)/\mathrm{prod}(B)$ è il più piccolo possibile.

src_rmo_2003__Q07