Regional Mathematical Olympiad 2004

Unique point on perpendicular from center where PQ equals tangent length

Consider in the plane a circle $\Gamma$ with center $O$ and a line $l$ not intersecting circle $\Gamma$. Prove that there is a unique point $Q$ on the perpendicular drawn from $O$ to the line $l$, such that for any point $P$ on the line $l$, $PQ$ represents the length of the tangent from $P$ to the circle $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto unico perpendicolare dal centro dove PQ è uguale alla lunghezza tangente

Considera nel piano un cerchio $\Gamma$ con centro $O$ e una linea $l$ che non interseca il cerchio $\Gamma$. Dimostrare che il punto $Q$ sulla perpendicolare tratto da $O$ alla linea $l$ è unico, in modo tale che per qualsiasi punto $P$ sulla linea $l$, $PQ$ rappresenti la lunghezza della tangente da $P$ al cerchio $\Gamma$.

src_rmo_2004__Q01

Positive integers on cube faces; find all possible values of face-sum T

Positive integers are written on all the faces of a cube, one on each. At each corner (vertex) of the cube, the product of the numbers on the faces that meet at the corner is written. The sum of the numbers written at all the corners is 2004. If $T$ denotes the sum of the numbers on all the faces, find all possible values of $T$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tanti interi positivi sulle facce cubiche; trovare tutti i valori possibili della somma facciale T

I numeri interi positivi sono scritti su tutte le facce di un cubo, uno su ciascuno. A ciascun angolo (vertice) del cubo è scritto il prodotto dei numeri sulle facce che si incontrano all’angolo. La somma dei numeri scritti in tutti gli angoli è il 2004. Se $T$ indica la somma dei numeri su tutte le facce, trovare tutti i possibili valori di $T$.

src_rmo_2004__Q02

Recurrence from quadratic roots; prove integer values and gcd = 1

Let $\alpha$ and $\beta$ be the roots of the quadratic equation $x^2+mx-1=0$, where $m$ is an odd integer. Let ${\lambda }_n={\alpha }^n+{\beta }^n$, for $n\ge 0$. Prove that

(a) ${\lambda }_n$ is an integer; and

(b) $\gcd ({\lambda }_n,{\lambda }_{n+1})=1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricorrenza da radici quadratiche; dimostrare valori interi e gcd = 1

Lasciate che $\alpha$ e $\beta$ siano le radici dell’equazione quadrata $x^2+mx-1=0$, dove $m$ è un numero intero impar. Let ${\lambda }_n={\alpha }^n+{\beta }^n$, per $n\ge 0$. Prove questo .

a) ${\lambda }_n$ è un numero intero; e

(b) $\gcd ({\lambda }_n,{\lambda }_{n+1})=1$.

src_rmo_2004__Q03

Count subset triples with A∩B∩C=∅, A∩B≠∅, B∩C≠∅; prove equals 7^n−6^n+5^n

Prove that the number of triples $(A,B,C)$ where $A$, $B$, $C$ are subsets of $\{1,2,\cdots ,n\}$ such that $A\cap B\cap C=\varnothing$, $A\cap B\ne \varnothing$, $B\cap C\ne \varnothing$ is $7^n-6^n+5^n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i tripli del sottogruppo con A∩B∩C=, A∩B≠, B∩C≠; dimostrare che è uguale a 7^n−6^n+5^n

Prova che il numero di triples $(A,B,C)$ dove $A$, $B$, $C$ sono sottoinsiemi di $\{1,2,\cdots ,n\}$ in modo tale che $A\cap B\cap C=\varnothing$, $A\cap B\ne \varnothing$, $B\cap C\ne \varnothing$ siano $7^n-6^n+5^n$.

src_rmo_2004__Q04

Midpoints and parallel lines in quadrilateral give four equal-area parts

Let $ABCD$ be a quadrilateral; $X$ and $Y$ the midpoints of $AC$ and $BD$ respectively and the lines through $X$ and $Y$ respectively parallel to $BD$, $AC$ meet in $O$. Let $P$, $Q$, $R$, $S$ be the midpoints of $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ respectively. Prove that

(a) quadrilaterals $APOS$ and $BQOP$ have the same area;

(b) the areas of the quadrilaterals $APOS$, $BQOP$, $CROQ$, $DSOR$ are all equal.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I punti di mezzo e le linee parallele in quadrilaterali danno quattro parti di superficie uguale

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale; $X$ e $Y$ i punti medi di $AC$ e $BD$ rispettivamente e le linee attraverso $X$ e $Y$ rispettivamente parallele a $BD$, $AC$ si incontrano in $O$. I punti intermedi $P$, $Q$, $R$ e $S$ siano rispettivamente $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$. Prove questo .

a) i quadrilaterali $APOS$ e $BQOP$ hanno la stessa superficie;

b) le superfici dei quadrilaterali $APOS$, $BQOP$, $CROQ$, $DSOR$ sono tutte uguali.

src_rmo_2004__Q05

Prime sequence p_{n+1} = largest prime factor of product+1; prove p_n ≠ 5

Let $(p_1,p_2,p_3,\cdots )$ be a sequence of primes defined by $p_1=2$ and for $n\ge 1$, $p_{n+1}$ is the largest prime factor of $p_1{p}_2{p}_3\cdots p_n+1$. Prove that $p_n\ne 5$ for any $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza primaria p_{n+1} = fattore primario più grande del prodotto+1; prova p_n ≠ 5

Che $(p_1,p_2,p_3,\cdots )$ sia una sequenza di numeri primi definita da $p_1=2$ e per $n\ge 1$, $p_{n+1}$ è il più grande fattore primo di $p_1{p}_2{p}_3\cdots p_n+1$. Prove che $p_n\ne 5$ per qualsiasi $n$.

src_rmo_2004__Q06

Positive reals satisfying y³+y ≤ x−x³; prove y<x<1 and x²+y²<1

Let $x$ and $y$ be positive real numbers such that $y^3+y\le x-x^3$. Prove that

(a) $y<x<1$; and

(b) $x^2+y^2<1$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi che soddisfano y3+y ≤ x−x3; dimostrare y<x<1 e x2+y2<1

$x$ e $y$ siano numeri reali positivi come $y^3+y\le x-x^3$. Prove questo .

a) $y<x<1$; e

(b) $x^2+y^2<1$.

src_rmo_2004__Q07