Regional Mathematical Olympiad 2005

Convex quadrilateral with equilateral triangles from midpoints is a rhombus

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral; $P$, $Q$, $R$, $S$ be the midpoints of $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ respectively such that triangles $AQR$ and $CSP$ are equilateral. Prove that $ABCD$ is a rhombus. Determine its angles.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un quadrilaterale converso con triangoli equilaterali dai punti medi è un rombo

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convexo; $P$, $Q$, $R$, $S$ siano i punti di mezzo rispettivamente di $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ in modo tale che i triangoli $AQR$ e $CSP$ siano equilaterali. Provare che $ABCD$ è un rombo. Determina le sue angolazioni.

src_rmo_2005__Q01

Integers x,y: 17 divides two expressions implies 17 divides third

If $x$, $y$ are integers and 17 divides both $x^2-3xy+2y^2+x-y$ and $x^2-3xy+2y^2-5x+7y$, then prove that 17 divides $xy-12x+15y$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Integra x,y: 17 divide due espressioni implica 17 divide terzo

Se $x$, $y$ sono numeri interi e 17 divide sia $x^2-3xy+2y^2+x-y$ che $x^2-3xy+2y^2-5x+7y$, dimostri che 17 divide $xy-12x+15y$.

src_rmo_2005__Q02

Three reals with pairwise difference conditions: one equals sum of other two

If $a$, $b$, $c$ are three real numbers such that $|a-b|\ge |c|$, $|b-c|\ge |a|$, $|c-a|\ge |b|$, then prove that one of $a$, $b$, $c$ is the sum of the other two.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre reali con condizioni di differenza in coppia: uno è uguale alla somma di altri due

Se $a$, $b$, $c$ sono tre numeri reali come $|a-b|\ge |c|$, $|b-c|\ge |a|$, $|c-a|\ge |b|$, dimostrate che uno di $a$, $b$, $c$ è la somma degli altri due.

src_rmo_2005__Q03

Count 5-digit numbers containing block 15 and divisible by 15

Find the number of all 5-digit numbers (in base 10) each of which contains the block 15 and is divisible by 15. (For example, 34545 and 34155 are two such numbers.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri a 5 cifre contenenti il blocco 15 e divisibili per 15

Trova il numero di tutti i numeri a 5 cifre (in base 10) ognuno dei quali contiene il blocco 15 e è divisibile per 15. (Per esempio, 34545 e 34155 sono due tali numeri.)

src_rmo_2005__Q04

Triangle with midpoint of BC and two given angles; find angle BAD

In triangle $ABC$, let $D$ be the midpoint of $BC$. If $\angle ACD=45^{\circ }$ and $\angle ADC=30^{\circ }$, determine $\angle BAD$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con punto medio di BC e due angoli dati; trovare angolo BAD

Nel triangolo $ABC$, $D$ sia il punto medio di $BC$. Se $\angle ACD=45^{\circ }$ e $\angle ADC=30^{\circ }$, determinare $\angle BAD$.

src_rmo_2005__Q05

All triples of positive integers with a+b+c+ab+bc+ca = abc+1

Determine all triples $(a,b,c)$ of positive integers such that $a\le b\le c$ and $a+b+c+ab+bc+ca=abc+1.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tutti i tripli di integri positivi con a+b+c+ab+bc+ca = abc+1

Determinare tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi quali $a\le b\le c$ e $a+b+c+ab+bc+ca=abc+1.$

src_rmo_2005__Q06

Positive reals summing to 1; minimum of cubic expressions gives real roots

Let $a$, $b$, $c$ be three positive real numbers such that $a+b+c=1$. Let $\lambda =\min \left\{a^3+a^{2}bc,b^3+a{b}^{2}c,c^3+ab{c}^2\right\}.$ Prove that the roots of the equation $x^2+x+4\lambda =0$ are real.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi sommati a 1; espressioni cubiche minime danno radici reali

$a$, $b$, $c$ siano tre numeri reali positivi come $a+b+c=1$. Provare che le radici dell’equazione $x^2+x+4\lambda =0$ sono reali.

src_rmo_2005__Q07