Regional Mathematical Olympiad 2006

Feet of altitudes in acute triangle are collinear with intersection

Let $ABC$ be an acute-angled triangle and let $D$, $E$, $F$ be the feet of perpendiculars from $A$, $B$, $C$ respectively to $BC$, $CA$, $AB$. Let the perpendiculars from $F$ to $CB$, $CA$, $AD$, $BE$ meet them in $P$, $Q$, $M$, $N$ respectively. Prove that $P$, $Q$, $M$, $N$ are collinear.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

*I piedi di altitudine nel triangolo acuto sono collineari con l’intersezione *

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto angolato e $D$, $E$, $F$ devono essere i piedi delle perpendicolari da $A$, $B$, $C$ rispettivamente a $BC$, $CA$, $AB$. Lasciate che le perpendicolari da $F$ a $CB$, $CA$, $AD$, $BE$ si incontrino rispettivamente in $P$, $Q$, $M$ e $N$. Provare che $P$, $Q$, $M$, $N$ sono collineari.

src_rmo_2006__Q01

Find least value of a+b with divisibility conditions on 11

Find the least possible value of $a+b$, where $a$, $b$ are positive integers such that 11 divides $a+13b$ and 13 divides $a+11b$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca il valore minimo di a+b con condizioni di divisibilità su 11

Trovare il minimo valore possibile di $a+b$, dove $a$, $b$ sono integri positivi in modo tale che 11 divide $a+13b$ e 13 divide $a+11b$.

src_rmo_2006__Q02

Prove inequality involving sum of fractions for positive reals

If $a$, $b$, $c$ are three positive real numbers, prove that $\frac{a^2+1}{b+c}+\frac{b^2+1}{c+a}+\frac{c^2+1}{a+b}\ge 3.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove le disuguaglianze che comportano la somma delle frazioni per i reali positivi

Se $a$, $b$, $c$ sono tre numeri reali positivi, dimostrare che $\frac{a^2+1}{b+c}+\frac{b^2+1}{c+a}+\frac{c^2+1}{a+b}\ge 3.$

src_rmo_2006__Q03

6×6 square dissected into 9 rectangles; always two congruent

A $6\times 6$ square is dissected into 9 rectangles by lines parallel to its sides such that all these rectangles have integer sides. Prove that there are always two congruent rectangles.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

6×6 quadrato dissezionato in 9 rettangoli; sempre due congruenti

Un quadrato $6\times 6$ è dissezionato in 9 rettangoli con linee parallele ai suoi lati in modo che tutti questi rettangoli abbiano lati interi. Prova che ci sono sempre due rettangoli congruenti.

src_rmo_2006__Q04

Tangential quadrilateral with AB∥CD and AB=3CD; find inradius

Let $ABCD$ be a quadrilateral in which $AB$ is parallel to $CD$ and perpendicular to $AD$; $AB=3CD$; and the area of the quadrilateral is 4. If a circle can be drawn touching all the sides of the quadrilateral, find its radius.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero tangenziale con ABCD e AB=3CD; trovare inradius

Il $ABCD$ è un quadrilaterale in cui $AB$ è parallelo a $CD$ e perpendicolare a $AD$; $AB=3CD$; e la superficie del quadrilaterale è 4. Se si può disegnare un cerchio che tocchi tutti i lati del quadrilaterale, trovare il suo raggio.

src_rmo_2006__Q05

Infinitely many n with n(n+1) as sum of two squares in two ways

Prove that there are infinitely many positive integers $n$ such that $n(n+1)$ can be expressed as a sum of two positive squares in at least two different ways. (Here $a^2+b^2$ and $b^2+a^2$ are considered as the same representation.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Infinitamente molti n con n(n+1) come somma di due quadrati in due modi

Dimostra che ci sono infiniti interi positivi $n$ in modo tale che $n(n+1)$ possa essere espressa come la somma di due quadrati positivi in almeno due modi diversi. (Qui $a^2+b^2$ e $b^2+a^2$ sono considerati come la stessa rappresentazione.)

src_rmo_2006__Q06

Functional equation f(xy)=f(x+y) for integers ≥4; find f(9)

Let $X$ be the set of all positive integers greater than or equal to 8 and let $f:X\to X$ be a function such that $f(x+y)=f(xy)$ for all $x\ge 4$, $y\ge 4$. If $f(8)=9$, determine $f(9)$.

Topic: Equazioni funzionali Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Equazione funzionale f(xy)=f(x+y) per gli integri ≥4; ritrovare f(9) *

$X$ sia l’insieme di tutti gli integri positivi superiori o uguali a 8 e $f:X\to X$ sia una funzione tale che $f(x+y)=f(xy)$ per tutti $x\ge 4$, $y\ge 4$. Se $f(8)=9$, determinare $f(9)$.

src_rmo_2006__Q07