Regional Mathematical Olympiad 2007

Show angle CED > 45 in acute triangle with angle bisector and altitude

Let $ABC$ be an acute-angled triangle; $AD$ be the bisector of $\angle BAC$ with $D$ on $BC$; and $BE$ be the altitude from $B$ on $AC$. Show that $\angle CED>45^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Mostra angolo CED > 45 in triangolo acuto con angolo bisector e altitudine

Che $ABC$ sia un triangolo a angolo acuto; $AD$ sia il bisettore di $\angle BAC$ con $D$ su $BC$; e $BE$ sia l’altitudine da $B$ su $AC$. Mostra che $\angle CED>45^{\circ }$.

src_rmo_2007__Q01

Prove c+d is sum of two squares given gcd condition on natural numbers

Let $a,b,c$ be three natural numbers such that $a<b<c$ and $\gcd (c-a,c-b)=1$. Suppose there exists an integer $d$ such that $a+d$, $b+d$, $c+d$ form the sides of a right-angled triangle. Prove that there exist integers $l,m$ such that $c+d=l^2+m^2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prova c+d è la somma di due quadrati data la condizione gcd sui numeri naturali

$a,b,c$ siano tre numeri naturali quali $a<b<c$ e $\gcd (c-a,c-b)=1$. Supponiamo che esista un intero $d$ tale che $a+d$, $b+d$, $c+d$ formino i lati di un triangolo rettangolare. Prove che esistono integri $l,m$ che $c+d=l^2+m^2$.

src_rmo_2007__Q02

Find all real pairs (a,b) so a root of x^2+ax+b implies a^2-2 is also root

Find all pairs $(a,b)$ of real numbers such that whenever $a$ is a root of $x^2+ax+b=0$, $a^2-2$ is also a root of the equation.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le coppie reali (a,b) così una radice di x^2+ax+b implica a^2-2 è anche radice

Trova tutte le coppie $(a,b)$ di numeri reali in modo tale che ogni volta che $a$ è una radice di $x^2+ax+b=0$, $a^2-2$ è anche una radice dell’equazione.

src_rmo_2007__Q03

Count 6-digit numbers with digits from {1,2,3,4,5} each appearing at least twice

How many 6-digit numbers are there such that: (a) the digits of each number are all from the set $\{1,2,3,4,5\}$; (b) any digit that appears in the number appears at least twice?

(Example: $225252$ is an admissible number, while $222133$ is not.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Contare i numeri a 6 cifre con cifre di {1,2,3,4,5} che appaiono almeno due volte *

Quanti numeri di 6 cifre ci sono tali che: (a) i numeri di ogni numero sono tutti dall’insieme $\{1,2,3,4,5\}$; (b) qualsiasi cifra che appare nel numero appare almeno due volte?

(Esempio: $225252$ è un numero ammissibile, mentre $222133$ non lo è.)

src_rmo_2007__Q04

Trapezium inscribed in circle, diagonals meet at M with OM=2; find difference of parallel sides

A trapezium $ABCD$, in which $AB$ is parallel to $CD$, is inscribed in a circle with centre $O$. Suppose the diagonals $AC$ and $BD$ of the trapezium intersect at $M$, and $OM=2$. (a) If $\angle AMB=60^{\circ }$, determine, with proof, the difference between the lengths of the parallel sides. (b) If $\angle AMD=60^{\circ }$, find the difference between the lengths of the parallel sides.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trapezio inserito in cerchio, diagonali che si incontrano a M con OM=2; trovare differenza di lati paralleli

Un trapezio $ABCD$, in cui $AB$ è parallelo a $CD$, è inserito in un cerchio con il centro $O$. Supponiamo che le diagonali $AC$ e $BD$ del trapezio si intersecano a $M$ e $OM=2$. (a) Se $\angle AMB=60^{\circ }$, determinare, con la prova, la differenza tra le lunghezze dei lati paralleli. b) Se $\angle AMD=60^{\circ }$, trovare la differenza tra le lunghezze dei lati paralleli.

src_rmo_2007__Q05

Prove inequalities comparing n with sum of its roots for n>=9

Prove that: (a) $5<\sqrt[3]{5}+\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{5}$; (b) $8>\sqrt{8}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[4]{8}$; (c) $n>\sqrt{n}+\sqrt[3]{n}+\sqrt[4]{n}$ for all integers $n\ge 9$.

Topic: Disuguaglianze, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove le disuguaglianze che confrontano n con la somma delle sue radici per n>=9

Prova che: a) $5<\sqrt[3]{5}+\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{5}$; b) $8>\sqrt{8}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[4]{8}$; c) $n>\sqrt{n}+\sqrt[3]{n}+\sqrt[4]{n}$ per tutti gli enti $n\ge 9$.

src_rmo_2007__Q06