Regional Mathematical Olympiad 2008

Perpendicular meets and circumradius in acute triangle

Let $ABC$ be an acute-angled triangle; let $D$, $F$ be the mid-points of $BC$, $AB$ respectively. Let the perpendicular from $F$ to $AC$ and the perpendicular at $B$ to $BC$ meet in $N$. Prove that $ND$ is the circum-radius of $ABC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*In triangolo acuto *

Il $ABC$ sia un triangolo a angolo acuto; $D$, $F$ siano rispettivamente i punti medi di $BC$ e $AB$. La perpendicolare da $F$ a $AC$ e la perpendicolare da $B$ a $BC$ si incontrano in $N$. Provare che $ND$ è il radio circostante di $ABC$.

src_rmo_2008__Q01

Two infinite sequences of positive integers satisfying four conditions

Prove that there exist two infinite sequences $(a_n{)}_{n\ge 1}$ and $(b_n{)}_{n\ge 1}$ of positive integers such that the following conditions hold simultaneously: (i) $1<a_1<a_2<a_3<\cdots$; (ii) $a_n<b_n<a_n^2$, for all $n\ge 1$; (iii) $a_n-1$ divides $b_n-1$, for all $n\ge 1$; (iv) $a_n^2-1$ divides $b_n^2-1$, for all $n\ge 1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Due sequenze infinite di numeri interi positivi che soddisfano quattro condizioni

Dimostrare che esistono due sequenze infinite $(a_n{)}_{n\ge 1}$ e $(b_n{)}_{n\ge 1}$ di numeri interi positivi in modo tale che le seguenti condizioni si applichino contemporaneamente: (i) $1<a_1<a_2<a_3<\cdots$; (ii) $a_n<b_n<a_n^2$, per tutti $n\ge 1$; (iii) $a_n-1$ divide $b_n-1$, per tutti $n\ge 1$; (iv) $a_n^2-1$ divide $b_n^2-1$, per tutti $n\ge 1$.

src_rmo_2008__Q02

Cubic with all positive real roots: bounds on coefficients

Suppose $a$ and $b$ are real numbers such that the roots of the cubic equation $a{x}^3-x^2+bx-1=0$ are all positive real numbers. Prove that: (i) $0<3ab\le 1$ and (ii) $b\ge \sqrt{3}$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Cubico con tutte le radici reali positive: limiti sui coefficienti

Supponiamo che $a$ e $b$ siano numeri reali in modo tale che le radici dell’equazione cubica $a{x}^3-x^2+bx-1=0$ siano tutti numeri reali positivi. Prove che: i) $0<3ab\le 1$ e ii) $b\ge \sqrt{3}$.

src_rmo_2008__Q03

Count 6-digit numbers with digit sum 10, each of 0,1,2,3 appearing at least once

Find the number of all 6-digit natural numbers such that the sum of their digits is 10 and each of the digits $0,1,2,3$ occurs at least once in them.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta i numeri a 6 cifre con somma di 10 cifre, ognuno di 0,1,2,3 che appaiono almeno una volta

Trova il numero di tutti i numeri naturali a 6 cifre in modo tale che la somma dei loro numeri sia 10 e ognuno dei numeri $0,1,2,3$ si verifichi almeno una volta in essi.

src_rmo_2008__Q04

Harmonic progression of strictly increasing positive integers with n=20, b divides c

Three nonzero real numbers $a$, $b$, $c$ are said to be in harmonic progression if $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Find all three-term harmonic progressions $a$, $b$, $c$ of strictly increasing positive integers in which $a=20$ and $b$ divides $c$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Progressione armonica di numeri interi positivi in aumento rigoroso con n=20, b divide c

Si dice che tre numeri reali non zero $a$, $b$, $c$ siano in progressione armonica se $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Trovare tutte le progressioni armoniche a tre termini $a$, $b$, $c$ di enti interi positivi in aumento rigoroso in cui $a=20$ e $b$ dividono $c$.

src_rmo_2008__Q05

Count integer-sided isosceles obtuse triangles with perimeter 2008

Find the number of all integer-sided isosceles obtuse-angled triangles with perimeter $2008$.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i triangoli obtus con perimetro 2008

Trova il numero di tutti i triangoli con angolo obtuso con perimetro $2008$.

src_rmo_2008__Q06