Regional Mathematical Olympiad 2009

Find angle BAC in isosceles triangle with incenter condition

Let $ABC$ be a triangle in which $AB=AC$ and let $I$ be its in-centre. Suppose $BC=AB+AI$. Find $\angle BAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trovare l’angolo BAC in triangolo a stelle uguali con condizione di incentro

Che $ABC$ sia un triangolo nel quale $AB=AC$ e che $I$ sia il suo centro. Supponiamo $BC=AB+AI$. Trova $\angle BAC$.

src_rmo_2009__Q01

No integer a makes a²−3a−19 divisible by 289

Show that there is no integer $a$ such that $a^2-3a-19$ is divisible by $289$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Nessun intero a rende a2−3a−19 divisibile per 289

Indicare che non esiste un intero $a$ tale che $a^2-3a-19$ sia divisibile da $289$.

src_rmo_2009__Q02

Write 3^2008+4^2009 as product of two integers each >2009^182

Show that $3^{2008}+4^{2009}$ can be written as the product of two positive integers each of which is larger than $2009^{182}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Scrivere 3^2008+4^2009 come prodotto di due enti ciascuno >2009^182

Mostrare che $3^{2008}+4^{2009}$ può essere scritto come il prodotto di due numeri interi positivi ognuno dei quali è più grande di $2009^{182}$.

src_rmo_2009__Q03

Sum of all 3-digit numbers with at least one odd and one even digit

Find the sum of all 3-digit natural numbers which contain at least one odd digit and at least one even digit.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa di tutti i numeri a 3 cifre con almeno una cifra impar e una cifra pari

Trova la somma di tutti i numeri naturali a 3 cifre che contengono almeno una cifra strana e almeno una cifra pari.

src_rmo_2009__Q04

Convex polygon Γ with diameter ≤1: boundary distance and interior midpoint on boundary

A convex polygon $\Gamma$ is such that the distance between any two vertices of $\Gamma$ does not exceed $1$.

(i) Prove that the distance between any two points on the boundary of $\Gamma$ does not exceed $1$.

(ii) If $X$ and $Y$ are two distinct points inside $\Gamma$, prove that there exists a point $Z$ on the boundary of $\Gamma$ such that $XZ+YZ\le 1$.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Poligono converso Γ con diametro ≤1: distanza di confine e punto medio interno sul confine

Un poligono converso $\Gamma$ è tale che la distanza tra due vertici di $\Gamma$ non superi $1$.

(i) dimostrare che la distanza tra due punti del confine di $\Gamma$ non supera $1$.

(ii) Se $X$ e $Y$ sono due punti distinti all’interno di $\Gamma$, dimostrare che esiste un punto $Z$ sul confine di $\Gamma$ tale che $XZ+YZ\le 1$.

src_rmo_2009__Q05

Pages torn from book 1–100 with remaining page-sum 4949; find torn count

In a book with pages numbered from $1$ to $100$, some pages are torn off. The sum of the numbers on the remaining pages is $4949$. How many pages are torn off?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Pagine strappate dal libro 1100 con 4949 pagine rimanenti; trovate il conteggio strappato

In un libro con pagine numerate da $1$ a $100$, alcune pagine vengono strappate. La somma dei numeri delle pagine restanti è $4949$. Quante pagine sono state strappate?

src_rmo_2009__Q06