Regional Mathematical Olympiad 2010

Geometric mean areas in concurrent-diagonal hexagon

Let $ABCDEF$ be a convex hexagon in which the diagonals $AD$, $BE$, $CF$ are concurrent at $O$. Suppose the area of triangle $OAF$ is the geometric mean of those of $OAB$ and $OEF$; and the area of triangle $OBC$ is the geometric mean of those of $OAB$ and $OCD$. Prove that the area of triangle $OED$ is the geometric mean of those of $OCD$ and $OEF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le superfici medie geometriche nell’esagono diagonale simultaneo

Il $ABCDEF$ deve essere un esagono converso in cui le diagonali $AD$, $BE$, $CF$ sono simultanee a $O$. Supponiamo che la superficie del triangolo $OAF$ sia la media geometrica di quelle di $OAB$ e $OEF$; e che la superficie del triangolo $OBC$ sia la media geometrica di quelle di $OAB$ e $OCD$. Prova che l’area del triangolo $OED$ è la media geometrica di quelle di $OCD$ e $OEF$.

src_rmo_2010__Q01

Three quadratics equal at a point implies coefficients equal

Let $P_1(x)=a{x}^2-bx-c$, $P_2(x)=b{x}^2-cx-a$, $P_3(x)=c{x}^2-ax-b$ be three quadratic polynomials where $a,b,c$ are non-zero real numbers. Suppose there exists a real number $\alpha$ such that $P_1(\alpha )=P_2(\alpha )=P_3(\alpha )$. Prove that $a=b=c$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre quadratici uguali in un punto implica coefficienti uguali

Lasciate che $P_1(x)=a{x}^2-bx-c$, $P_2(x)=b{x}^2-cx-a$, $P_3(x)=c{x}^2-ax-b$ siano tre polinomi quadratici dove $a,b,c$ sono numeri reali non zero. Supponiamo che esista un numero reale $\alpha$ tale che $P_1(\alpha )=P_2(\alpha )=P_3(\alpha )$. Prove che $a=b=c$.

src_rmo_2010__Q02

Count 4-digit numbers with non-zero digits divisible by 4 not 8

Find the number of 4-digit numbers (in base 10) having non-zero digits and which are divisible by 4 but not by 8.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 729 Fonte: apri PDF

Contare numeri a 4 cifre con numeri non a zero divisibili per 4 non per 8

Trova il numero di numeri a 4 cifre (in base 10) che non hanno cifre zero e che sono divisibili per 4 ma non per 8.

Risposta: 729 src_rmo_2010__Q03

Three distinct positive integers, least sum, reciprocal condition

Find three distinct positive integers with the least possible sum such that the sum of the reciprocals of any two integers among them is an integral multiple of the reciprocal of the third integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tre numeri interi positivi distinti, somma minima, condizione reciproca

Trovare tre diversi interi positivi con la somma minima possibile in modo tale che la somma dei reciproci di due interi tra loro sia un multiple integrale del reciproco del terzo intero.

src_rmo_2010__Q04

Reflection of A in angle-bisector line EF lies on BC

Let $ABC$ be a triangle in which $\angle A=60^{\circ }$. Let $BE$ and $CF$ be the bisectors of the angles $\angle B$ and $\angle C$ with $E$ on $AC$ and $F$ on $AB$. Let $M$ be the reflection of $A$ in the line $EF$. Prove that $M$ lies on $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il riflesso di A nella linea di angolo-bisettore EF si trova su BC

$ABC$ sia un triangolo in cui $\angle A=60^{\circ }$. I segmenti $BE$ e $CF$ siano i bisettori degli angoli $\angle B$ e $\angle C$ con $E$ su $AC$ e $F$ su $AB$. Il $M$ deve essere il riflesso di $A$ nella riga $EF$. Provare che $M$ si trova su $BC$.

src_rmo_2010__Q05

Count n in {1,…,2010} where floor(n/floor(sqrt(n))) equals floor((n+1)/floor(sqrt(n+1)))

For each integer $n\ge 1$, define $a_n=\left[\frac{n}{[\sqrt{n}]}\right]$, where $[x]$ denotes the largest integer not exceeding $x$. Find the number of all $n$ in the set $\{1,2,3,\dots ,2010\}$ for which $a_n=a_{n+1}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta n in {1,…,2010} dove il pavimento(n/pavimento(sqrt(n))) è uguale al pavimento(((n+1)/pavimento(sqrt(n+1)))

Per ogni numero intero $n\ge 1$, definire $a_n=\left[\frac{n}{[\sqrt{n}]}\right]$, dove $[x]$ indica il numero intero più grande non superiore a $x$. Trova il numero di tutti $n$ nell’insieme $\{1,2,3,\dots ,2010\}$ per il quale $a_n=a_{n+1}$.

src_rmo_2010__Q06