Regional Mathematical Olympiad 2011

Triangle with concurrent cevians; prove angle equality

Let $ABC$ be a triangle. Let $D$, $E$, $F$ be points respectively on the segments $BC$, $CA$, $AB$ such that $AD$, $BE$, $CF$ concur at the point $K$. Suppose $BD/DC=BF/FA$ and $\angle ADB=\angle AFC$. Prove that $\angle ABE=\angle CAD$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con ceviani simultanei; prova uguale angolo

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. I segmenti $D$, $E$, $F$ siano punti rispettivamente sui segmenti $BC$, $CA$, $AB$ in modo tale che $AD$, $BE$, $CF$ siano convergenti al punto $K$. Supponiamo $BD/DC=BF/FA$ e $\angle ADB=\angle AFC$. Prove che $\angle ABE=\angle CAD$.

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Permutation of 1..2011; show two indices with equal absolute difference

Let $(a_1,a_2,\dots ,a_{2011})$ be a permutation (that is a rearrangement) of the numbers $1,2,3,\dots ,2011$. Show that there exist two numbers $j,k$ such that $1\le j<k\le 2011$ and $|a_j-j|=|a_k-k|$.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Permutazione del 1..2011; mostrare due indici con uguale differenza assoluta

Let $(a_1,a_2,\dots ,a_{2011})$ essere una permutazione (cioè una riorganizzazione) dei numeri $1,2,3,\dots ,2011$. Indicare che esistono due numeri $j,k$, quali $1\le j<k\le 2011$ e $|a_j-j|=|a_k-k|$.

src_rmo_2011__Q02

Consecutive perfect squares; prove n-kl is a perfect square

A natural number $n$ is chosen strictly between two consecutive perfect squares. The smaller of these two squares is obtained by subtracting $k$ from $n$ and the larger one is obtained by adding $l$ to $n$. Prove that $n-kl$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Squadrati perfetti consecutivi; dimostrare che n-kl è un quadrato perfetto

Un numero naturale $n$ è scelto rigorosamente tra due quadrati perfetti consecutivi. Il più piccolo di questi due quadrati si ottiene sottraendo $k$ da $n$ e il più grande si ottiene aggiungendo $l$ a $n$. Prova che $n-kl$ è un quadrato perfetto.

src_rmo_2011__Q03

Count admissible triples of vertices in a 20-sided convex polygon

Consider a 20-sided convex polygon $K$, with vertices $A_1,A_2,\dots ,A_{20}$ in that order. Find the number of ways in which three sides of $K$ can be chosen so that every pair among them has at least two sides of $K$ between them. (For example $(A_1{A}_2,A_4{A}_5,A_{11}{A}_{12})$ is an admissible triple while $(A_1{A}_2,A_4{A}_5,A_{19}{A}_{20})$ is not.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i triplice di vertici ammissibili in un poligono converso a 20 lati

Considera un poligono convex a 20 lati $K$, con vertici $A_1,A_2,\dots ,A_{20}$ in tale ordine. Trovare il numero di modi in cui tre lati di $K$ possono essere scelti in modo che ogni coppia tra loro abbia almeno due lati di $K$ tra loro. (ad esempio $(A_1{A}_2,A_4{A}_5,A_{11}{A}_{12})$ è un triplo ammissibile mentre $(A_1{A}_2,A_4{A}_5,A_{19}{A}_{20})$ non lo è.)

src_rmo_2011__Q04

Triangle with angle bisectors and incircle tangent point; prove FE=AD

Let $ABC$ be a triangle and let $B{B}_1$, $C{C}_1$ be respectively the bisectors of $\angle B$, $\angle C$ with $B_1$ on $AC$ and $C_1$ on $AB$. Let $E$, $F$ be the feet of perpendiculars drawn from $A$ onto $B{B}_1$, $C{C}_1$ respectively. Suppose $D$ is the point at which the incircle of $ABC$ touches $AB$. Prove that $AD=FE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con bisettori angolari e punto tangente incircolo; prova FE=AD

Che $ABC$ sia un triangolo e che $B{B}_1$, $C{C}_1$ siano rispettivamente i bisettori di $\angle B$, $\angle C$ con $B_1$ su $AC$ e $C_1$ su $AB$. I piedi perpendicolari $E$ e $F$ devono essere tracciati rispettivamente da $A$ a $B{B}_1$ e $C{C}_1$. Supponiamo che $D$ sia il punto in cui l’incircolo di $ABC$ tocca $AB$. Prova che $AD=FE$.

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Find all real pairs (x,y) satisfying an exponential equation

Find all pairs $(x,y)$ of real numbers such that $16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie reali (x,y) che soddisfano un’equazione esponenziale

Trovare tutte le coppie $(x,y)$ di numeri reali tali che $16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1.$

src_rmo_2011__Q06