Regional Mathematical Olympiad 2012 — Mumbai

Three quadratics share a common zero; find the polynomials

Let $\alpha$ be the common zero of the three polynomials $x^2+ax+b$, $x^2+x+ab$ and $a{x}^2+x+b$. (Thus ${\alpha }^2+a\alpha +b=0$, ${\alpha }^2+\alpha +ab=0$ and $a{\alpha }^2+\alpha +b=0$.) Find all such polynomials, i.e.\ find all values of $a$ and $b$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre quadratici condividono uno zero comune; trovare i polinomi

$\alpha$ sia lo zero comune dei tre polinomi $x^2+ax+b$, $x^2+x+ab$ e $a{x}^2+x+b$. (In questo modo ${\alpha }^2+a\alpha +b=0$, ${\alpha }^2+\alpha +ab=0$ e $a{\alpha }^2+\alpha +b=0$.) Trova tutti questi polinomi, cioè\ trova tutti i valori di $a$ e $b$.

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Divisibility by 169 of a quadratic in n

Let $n$ be a natural number. Prove that $169$ divides $21n^2+89n+44$ if and only if $13$ divides $n^2+3n+51$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Divisibilità per 169 di un quadratico in n

$n$ sia un numero naturale. Prova che $169$ divide $21n^2+89n+44$ se e solo se $13$ divide $n^2+3n+51$.

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Solve an exponential equation involving floor and fractional parts

Solve the equation $2^{\lfloor x\rfloor }+\{x\}=\frac{5\cdot 2^{2\lfloor x\rfloor }}{2^{2\lfloor x\rfloor }-11}$, where $\lfloor x\rfloor$ denotes the integer part of $x$ and $\{x\}$ denotes its fractional part.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $x=14/5$ Fonte: apri PDF

Solvi un’equazione esponenziale che coinvolge parti di pavimento e frazioni

Risolvi l’equazione $2^{\lfloor x\rfloor }+\{x\}=\frac{5\cdot 2^{2\lfloor x\rfloor }}{2^{2\lfloor x\rfloor }-11}$, dove $\lfloor x\rfloor$ indica la parte integrale di $x$ e $\{x\}$ indica la sua parte frazionaria.

Risposta: $x=14/5$ src_rmo_2012_mumbai__Q03

Prove a product relation among segments using a right angle and a perpendicular

Let $AEB$ be such that $\angle AEB=90^{\circ }$ and let $ED$ be perpendicular to $AB$. Prove that $AD\cdot DB=HD\cdot CD$, i.e.\ that $\frac{AD}{CD}=\frac{HD}{DB}$, where the points $C$, $E$, $H$, $D$ are as in the accompanying figure (with $\angle DAH=\angle BCD$ and $\angle DAH=\angle CDB$ so that triangles $ADH$ and $CDB$ are similar).

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove un rapporto di prodotto tra i segmenti utilizzando un angolo retto e un angolo perpendicolare

Il $AEB$ deve essere tale che $\angle AEB=90^{\circ }$ e il $ED$ deve essere perpendicolare a $AB$. Prove che $AD\cdot DB=HD\cdot CD$, cioè che $\frac{AD}{CD}=\frac{HD}{DB}$, dove i punti $C$, $E$, $H$, $D$ sono come nella figura di accompagnamento (con $\angle DAH=\angle BCD$ e $\angle DAH=\angle CDB$ in modo che i triangoli $ADH$ e $CDB$ siano simili).

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Find all triples with a prime and a reciprocal equation

Find all triples $(a,b,c)$ of positive integers such that $a$ is a prime, $1\le a\le b\le c$, and $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(a,b,c)\in \{(2,5,30),(2,6,18),(2,7,14),(2,8,12),(2,10,10),(3,4,18),(3,6,9)\}$ Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli con una prima e un’equazione reciproca

Trovare tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi in modo che $a$ sia un primo, $1\le a\le b\le c$, e $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1.$

Risposta: $(a,b,c)\in \{(2,5,30),(2,6,18),(2,7,14),(2,8,12),(2,10,10),(3,4,18),(3,6,9)\}$ src_rmo_2012_mumbai__Q05

Weighted alternating sum over all subsets of a 10-element set

For a non-empty subset $A$ of $S=\{1,2,\dots ,10\}$, define $w(A)$ by arranging the elements of $A$ in decreasing order and then alternately adding and subtracting them, starting with addition (the largest element is added). Let $\mathrm{WSUM}$ be the sum of $w(A)$ over all non-empty subsets $A$ of $S$. Show that $\mathrm{WSUM}=70656$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $70656$ Fonte: apri PDF

Summa alternata ponderata su tutti i sottogruppi di un insieme di 10 elementi

Per un sottogruppo non vuoto $A$ di $S=\{1,2,\dots ,10\}$, definire $w(A)$ organizzando gli elementi di $A$ in ordine decrescente e quindi aggiungendo e sottrattandoli alternatamente, a partire dall’aggiunta (si aggiunge l’elemento più grande). $\mathrm{WSUM}$ sia la somma di $w(A)$ su tutti i sottoinsiemi non vuoti $A$ di $S$. Mostra che $\mathrm{WSUM}=70656$.

Risposta: $70656$ src_rmo_2012_mumbai__Q06

Power of a point and similar triangles yield a 100 degree angle

In the given configuration, $O$, $E$, $X$ are collinear, $A$, $B$, $C$, $D$ lie on a circle, and triangles $OCX$ and $CEX$ are similar so that $XC/XO=XE/XC$, i.e.\ $X{C}^2=XO\cdot XE$; also $X{C}^2=XB\cdot XA$, hence $XB\cdot XA=XE\cdot XO$ and so $O$, $A$, $B$, $E$ are concyclic. Given $\angle OAB=180^{\circ }-\angle OEB=40^{\circ }$, prove that $\angle AOB=180^{\circ }-2\angle OAB=100^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $\angle AOB=100^{\circ }$ Fonte: apri PDF

La potenza di un punto e di triangoli simili dà un angolo di 100 gradi

Nella configurazione data, $O$, $E$, $X$ sono collineari, $A$, $B$, $C$, $D$ si trovano su un cerchio, e i triangoli $OCX$ e $CEX$ sono simili in modo che $XC/XO=XE/XC$, cioè $X{C}^2=XO\cdot XE$; anche $X{C}^2=XB\cdot XA$, quindi $XB\cdot XA=XE\cdot XO$ e così $O$, $A$, $B$, $E$ sono conciclici. Date $\angle OAB=180^{\circ }-\angle OEB=40^{\circ }$, dimostrare che $\angle AOB=180^{\circ }-2\angle OAB=100^{\circ }$.

Risposta: $\angle AOB=100^{\circ }$ src_rmo_2012_mumbai__Q07

Prove an inequality for two fractions under a reciprocal constraint

Let $x=2a$, $y=2b$, $z=2c$ with $a,b,c>1$ satisfying $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Prove that $\frac{1}{(a-1)(b-1)(c-1)}+\frac{8}{(a+1)(b+1)(c+1)}\le \frac{1}{4}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rimostra una disuguaglianza per due frazioni con un vincolo reciproco

$x=2a$, $y=2b$, $z=2c$ con $a,b,c>1$ che soddisfi $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Provare che $\frac{1}{(a-1)(b-1)(c-1)}+\frac{8}{(a+1)(b+1)(c+1)}\le \frac{1}{4}.$

src_rmo_2012_mumbai__Q08