Regional Mathematical Olympiad 2012 — Region 1

Find ratios BP/PE and AP/PD in triangle with midpoint

Let $ABC$ be a triangle and $D$ be a point on the segment $BC$ such that $DC=2BD$. Let $E$ be the mid-point of $AC$. Let $AD$ and $BE$ intersect in $P$. Determine the ratios $BP/PE$ and $AP/PD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca i rapporti BP/PE e AP/PD nel triangolo con punto medio

Che $ABC$ sia un triangolo e $D$ un punto sul segmento $BC$ tale da $DC=2BD$. $E$ sia il punto medio di $AC$. Lasciate che $AD$ e $BE$ si incrociano in $P$. Determinare i rapporti $BP/PE$ e $AP/PD$.

src_rmo_2012_r1__Q01

Divisibility chain implies abc divides (a+b+c)^13

Let $a,b,c$ be positive integers such that $a$ divides $b^3$, $b$ divides $c^3$ and $c$ divides $a^3$. Show that $abc$ divides $(a+b+c{)}^{13}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Catenata di divisione implica divisioni di abc (a+b+c)^13

$a,b,c$ siano integri positivi in modo tale che $a$ divida $b^3$, $b$ divida $c^3$ e $c$ divida $a^3$. Indicare che $abc$ divide $(a+b+c{)}^{13}$.

src_rmo_2012_r1__Q02

Prove a^a b^b + a^b b^a <= 1 for positive reals a+b=1

Let $a$ and $b$ be positive real numbers such that $a+b=1$. Prove that $a^a{b}^b+a^b{b}^a\le 1$.

Appears in regions: Region 1, Region 2, Region 4.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove a^a b^b + a^b b^a <= 1 per i risultati positivi a+b=1*

$a$ e $b$ siano numeri reali positivi come $a+b=1$. Prove che $a^a{b}^b+a^b{b}^a\le 1$.

Apparizioni nelle regioni: Regione 1, Regione 2, Regione 4.

src_rmo_2012_r1__Q03

Count unordered pairs {A,B} subsets of {1,…,10} with A∩B={2,3,5,7}

Let $X=\{1,2,3,\dots ,10\}$. Find the number of pairs $\{A,B\}$ such that $A\subseteq X$, $B\subseteq X$, $A\ne B$ and $A\cap B=\{2,3,5,7\}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le coppie non ordinate {A,B} sottoinsieme di {1,…,10} con A∩B={2,3,5,7}

Let $X=\{1,2,3,\dots ,10\}$. Trovare il numero di coppie $\{A,B\}$ come $A\subseteq X$, $B\subseteq X$, $A\ne B$ e $A\cap B=\{2,3,5,7\}$.

src_rmo_2012_r1__Q04

Angle bisectors feet; prove XY=(b+c-a)/2

Let $ABC$ be a triangle. Let $BE$ and $CF$ be internal angle bisectors of $\angle B$ and $\angle C$ respectively with $E$ on $AC$ and $F$ on $AB$. Suppose $X$ is a point on the segment $CF$ such that $AX\perp CF$, and $Y$ is a point on the segment $BE$ such that $AY\perp BE$. Prove that $XY=\frac{b+c-a}{2}$ where $BC=a$, $CA=b$ and $AB=c$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Piedi bisettori angolari; prova XY=(b+c-a)/2

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Il $BE$ e il $CF$ siano rispettivamente bisettori di angolo interno di $\angle B$ e $\angle C$ con $E$ su $AC$ e $F$ su $AB$. Supponiamo che $X$ sia un punto del segmento $CF$ tale che $AX\perp CF$, e $Y$ sia un punto del segmento $BE$ tale che $AY\perp BE$. Prove che $XY=\frac{b+c-a}{2}$ dove $BC=a$, $CA=b$ e $AB=c$.

src_rmo_2012_r1__Q05

Prove not all roots of ax^4+bx^3+x^2+x+1=0 are real

Let $b$ and $a$ be real numbers such that $a\ne 0$. Prove that not all the roots of $a{x}^4+b{x}^3+x^2+x+1=0$ can be real.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che non tutte le radici di ax^4+bx^3+x^2+x+1=0 sono reali

$b$ e $a$ siano numeri reali come $a\ne 0$. Prova che non tutte le radici di $a{x}^4+b{x}^3+x^2+x+1=0$ possono essere reali.

src_rmo_2012_r1__Q06