Regional Mathematical Olympiad 2012 — Region 2

Quadrant circle inscribed in unit square, find radius

Let $ABCD$ be a unit square. Draw a quadrant of a circle with $A$ as centre and $B$, $D$ as end points of the arc. Similarly, draw a quadrant of a circle with $B$ as centre and $A$, $C$ as end points of the arc. Inscribe a circle $\Gamma$ touching the arc $AC$ internally, the arc $BD$ internally and also touching the side $AB$. Find the radius of the circle $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Circolo quadrante inserito nel quadrato unitario, radio *

Lasciate che $ABCD$ sia un quadrato unitario. Disegnare un quadrante di un cerchio con $A$ come centro e $B$, $D$ come punti finali dell’arco. Allo stesso modo, disegnare un quadrante di un cerchio con $B$ come centro e $A$, $C$ come punti finali dell’arco. Inserire un cerchio $\Gamma$ che tocchi l’arco $AC$ internamente, l’arco $BD$ internamente e anche il lato $AB$. Trova il raggio del cerchio $\Gamma$.

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Positive integers with divisibility, same set of prime divisors

Let $a,b,c$ be positive integers such that $a$ divides $b^5$, $b$ divides $c^4$ and $c$ divides $a^3$. Prove that $abc$ divides $(a+b+c{)}^{21}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

insieri positivi con divisibilità, stesso insieme di divisori primi

Lasciate che $a,b,c$ siano integri positivi in modo tale che $a$ divida $b^5$, $b$ divida $c^4$ e $c$ divida $a^3$. Provare che $abc$ divide $(a+b+c{)}^{21}$.

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Count pairs {A,B} with A,B subsets of {1,…,12} satisfying conditions

Let $X=\{1,2,3,\dots ,12\}$. Find the number of pairs $\{A,B\}$ such that $A\subseteq X$, $B\subseteq X$, $A\ne B$ and $A\cap B=\{2,3,5,7,8\}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Coppie di conteggio {A,B} con sottoinsiemi A,B di {1,…,12} che soddisfano le condizioni

Let $X=\{1,2,3,\dots ,12\}$. Trovare il numero di coppie $\{A,B\}$ come $A\subseteq X$, $B\subseteq X$, $A\ne B$ e $A\cap B=\{2,3,5,7,8\}$.

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Triangle cevians, find ratio BP/PQ

Let $ABC$ be a triangle. Let $D$, $E$ be points on the segment $BC$ such that $BD=DE=EC$. Let $F$ be the mid-point of $AC$. Let $BF$ intersect $AD$ in $P$ and $AE$ in $Q$ respectively. Determine $BP/PQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Ceviani triangolari, rapporto tra BP/PQ *

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Se il segmento $D$, $E$ sono punti del segmento $BC$ in modo tale che $BD=DE=EC$. Il $F$ deve essere il punto medio di $AC$. In $P$ $AD$ e in $Q$ $AE$ si intersecano rispettivamente. Determinare $BP/PQ$.

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Show x^3y+y^3z+z^3x is constant given two linear conditions

Show that for all real numbers $x,y,z$ such that $x+y+z=-3$ and $xy+yz+zx=-3$, the expression $x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x$ is a constant.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra che x^3y+y^3z+z^3x è costante dato due condizioni lineari

Indicare che per tutti i numeri reali $x,y,z$ tali che $x+y+z=-3$ e $xy+yz+zx=-3$, l’espressione $x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x$ è una costante.

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