Regional Mathematical Olympiad 2012 — Region 3

Inscribed circle touching two quadrant arcs and a side of unit square

Let $ABCD$ be a unit square. Draw a quadrant of a circle with $A$ as centre and $B$, $D$ as end points of the arc. Similarly, draw a quadrant of a circle with $B$ as centre and $A$, $C$ as end points of the arc. Inscribe a circle $\Gamma$ touching the arcs $AC$ and $BD$ both externally and also touching the side $CD$. Find the radius of the circle $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo inciso che tocca due quadranti e un lato di quadrato unitario

Lasciate che $ABCD$ sia un quadrato unitario. Disegnare un quadrante di un cerchio con $A$ come centro e $B$, $D$ come punti finali dell’arco. Allo stesso modo, disegnare un quadrante di un cerchio con $B$ come centro e $A$, $C$ come punti finali dell’arco. Inserire un cerchio $\Gamma$ che tocchi gli archi $AC$ e $BD$ sia esternamente che sul lato $CD$. Trova il raggio del cerchio $\Gamma$.

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Divisibility: abc divides (a+b+c)^31 given chained divisibility

Let $a,b,c$ be positive integers such that $a$ divides $b^2$, $b$ divides $c^2$ and $c$ divides $a^2$. Prove that $abc$ divides $(a+b+c{)}^{31}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Divisibilità: abc divide (a+b+c)^31 data divisibilità incatenata

Lasciate che $a,b,c$ siano integri positivi in modo tale che $a$ divida $b^2$, $b$ divida $c^2$ e $c$ divida $a^2$. Provare che $abc$ divide $(a+b+c{)}^{31}$.

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Prove a^a b^b + b^a a^b ≤ 1 for positive reals a+b=1

Let $a$ and $b$ be positive real numbers such that $a+b=1$. Prove that $a^a{b}^b+b^a{a}^b\le 1$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove a^a b^b + b^a a^b ≤ 1 per i risultati positivi a+b=1

$a$ e $b$ siano numeri reali positivi come $a+b=1$. Prove che $a^a{b}^b+b^a{a}^b\le 1$.

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Count pairs {A,B} of subsets of {1,…,10} with fixed intersection {5,7,8}

Let $X=\{1,2,3,\dots ,10\}$. Find the number of pairs $\{A,B\}$ such that $A\subseteq X$, $B\subseteq X$, $A\ne B$ and $A\cap B=\{5,7,8\}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conte di coppie {A,B} di sottoinsiemi di {1,…,10} con intersezione fissa {5,7,8}

Let $X=\{1,2,3,\dots ,10\}$. Trovare il numero di coppie $\{A,B\}$ come $A\subseteq X$, $B\subseteq X$, $A\ne B$ e $A\cap B=\{5,7,8\}$.

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Ratio of area of triangle APQ to quadrilateral PDEQ in triangle with trisected base

Let $ABC$ be a triangle. Let $D$, $E$ be points on the segment $BC$ such that $BD=DE=EC$. Let $F$ be the midpoint of $AC$. Let $BF$ intersect $AD$ in $P$ and $AE$ in $Q$ respectively. Determine the ratio of the area of the triangle $APQ$ to that of the quadrilateral $PDEQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ratio di superficie del triangolo APQ a quadrilaterale PDEQ in triangolo con base trisectata

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Se il segmento $D$, $E$ sono punti del segmento $BC$ in modo tale che $BD=DE=EC$. $F$ sia il punto medio di $AC$. In $P$ $BF$ $AD$ e in $Q$ $AE$ si intersecano rispettivamente. Determinare il rapporto tra la superficie del triangolo $APQ$ e quella del quadrilaterale $PDEQ$.

src_rmo_2012_r3__Q05

Find all positive integers n such that 3^{2n}+3n^2+7 is a perfect square

Find all positive integers $n$ such that $3^{2n}+3n^2+7$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi n in modo che 3^{2n}+3n^2+7 sia un quadrato perfetto

Trovare tutti gli integri positivi $n$ in modo che $3^{2n}+3n^2+7$ sia un quadrato perfetto.

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