Regional Mathematical Olympiad 2012 — Region 4

Radius of a circle inscribed in a unit square tangent to two side-centred quadrant arcs and a side

Let $ABCD$ be a unit square. Draw a quadrant of a circle with $A$ as centre and $B$, $D$ as end points of the arc. Similarly, draw a quadrant of a circle with $B$ as centre and $A$, $C$ as end points of the arc. Inscribe a circle $\Gamma$ touching the arc $AC$ externally, the arc $BD$ internally and also touching the side $AD$. Find the radius of the circle $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Radius di un cerchio iscritto in un quadrato unitario tangente a due archi quadranti laterali e a un lato

Lasciate che $ABCD$ sia un quadrato unitario. Disegnare un quadrante di un cerchio con $A$ come centro e $B$, $D$ come punti finali dell’arco. Allo stesso modo, disegnare un quadrante di un cerchio con $B$ come centro e $A$, $C$ come punti finali dell’arco. Scrivere un cerchio $\Gamma$ che tocchi l’arco $AC$ esternamente, l’arco $BD$ internamente e anche il lato $AD$. Trova il raggio del cerchio $\Gamma$.

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Show that abc divides (a+b+c)^7 given the divisibility conditions a|b^2, b|c^2, c|a^2

Let $a,b,c$ be positive integers such that $a$ divides $b^2$, $b$ divides $c^2$ and $c$ divides $a^2$. Prove that $abc$ divides $(a+b+c{)}^7$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra che abc divide (a+b+c)^7 date le condizioni di divisibilità a b b b b b b b c c c c c c c a 2

$a,b,c$ siano integri positivi in modo tale che $a$ divida $b^2$, $b$ divida $c^2$ e $c$ divida $a^2$. Provare che $abc$ divide $(a+b+c{)}^7$.

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Count pairs {A,B} of subsets of {1,…,11} with A != B and a given intersection

Let $X=\{1,2,3,\dots ,11\}$. Find the number of pairs $\{A,B\}$ such that $A\subseteq X$, $B\subseteq X$, $A\ne B$ and $A\cap B=\{4,5,7,8,9,10\}$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Conta coppie {A,B} di sottoinsiemi di {1,…,11} con A != B e una data intersezione

Let $X=\{1,2,3,\dots ,11\}$. Trovare il numero di coppie $\{A,B\}$ come $A\subseteq X$, $B\subseteq X$, $A\ne B$ e $A\cap B=\{4,5,7,8,9,10\}$.

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In a triangle with E on BC (BE=2EC) and F midpoint of AC, find BQ/QF where BF meets AE

Let $ABC$ be a triangle. Let $E$ be a point on the segment $BC$ such that $BE=2EC$. Let $F$ be the mid-point of $AC$. Let $BF$ intersect $AE$ in $Q$. Determine $BQ/QF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un triangolo con E su BC (BE=2EC) e F punto medio di AC, trovare BQ/QF dove BF incontra AE

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Il punto $E$ deve essere un punto del segmento $BC$ tale da $BE=2EC$. $F$ sia il punto medio di $AC$. In $Q$ si interseca $BF$. Determinare $BQ/QF$.

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Solve the symmetric system 1/(xy)=x/z+1, 1/(yz)=y/x+1, 1/(zx)=z/y+1 for positive reals

Solve the system of equations for positive real numbers: $\frac{1}{xy}=\frac{x}{z}+1,\frac{1}{yz}=\frac{y}{x}+1,\frac{1}{zx}=\frac{z}{y}+1.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi il sistema simmetrico 1/(xy)=x/z+1, 1/(yz)=y/x+1, 1/(zx)=z/y+1 per i reali positivi

Risolvere il sistema di equazioni per i numeri reali positivi: $\frac{1}{xy}=\frac{x}{z}+1,\frac{1}{yz}=\frac{y}{x}+1,\frac{1}{zx}=\frac{z}{y}+1.$

src_rmo_2012_r4__Q06