Regional Mathematical Olympiad 2013 — Mumbai

Isosceles triangle with circumcircle, prove BE parallel to AD

Let $ABC$ be an isosceles triangle with $AB=AC$ and let $\Gamma$ denote its circumcircle. A point $D$ is on the arc $AB$ of $\Gamma$ not containing $C$ and a point $E$ is on the arc $AC$ of $\Gamma$ not containing $B$ such that $AD=CE$. Prove that $BE$ is parallel to $AD$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles con circoncircolo, dimostrare BE parallelo ad AD

Let $ABC$ essere un triangolo di uguali dimensioni con $AB=AC$ e let $\Gamma$ denotare il suo circoncircolo. Un punto $D$ è sull’arco $AB$ di $\Gamma$ che non contiene $C$ e un punto $E$ è sull’arco $AC$ di $\Gamma$ che non contiene $B$ in modo tale che $AD=CE$. Provare che $BE$ è parallelo a $AD$.

src_rmo_2013_mumbai__Q01

Find all prime triples (p,q,r) with pq=r+1 and 2p^2+q^2=r^2+1

Find all triples $(p,q,r)$ of primes such that $pq=r+1$ and $2p^2+q^2=r^2+1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli primi (p,q,r) con pq=r+1 e 2p^2+q^2=r^2+1

Trova tutti i triples $(p,q,r)$ di numeri primi come $pq=r+1$ e $2p^2+q^2=r^2+1$.

src_rmo_2013_mumbai__Q02

Count 3-good non-empty subsets of {0,1,…,9}

A finite non-empty set $S$ of integers is called $3$-good if the sum of the elements of $S$ is divisible by $3$. Find the number of $3$-good non-empty subsets of $\{0,1,2,\dots ,9\}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i sottoinsiemi non vuoti di {0,1,…,9}

Un insieme finito non vuoto $S$ di numeri interi è chiamato $3$-buono se la somma degli elementi di $S$ è divisibile da $3$. Trova il numero di $3$-buoni sottoinsiemi non vuoti di $\{0,1,2,\dots ,9\}$.

src_rmo_2013_mumbai__Q03

Triangle with D,E on BC,AC; P on ED; find ratio BS/SD

In a triangle $ABC$, points $D$ and $E$ are on segments $BC$ and $AC$ such that $BD=3DC$ and $AE=4EC$. Point $P$ is on line $ED$ such that $D$ is the midpoint of segment $EP$. Lines $AP$ and $BC$ intersect at point $S$. Find the ratio $BS/SD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con D,E su BC,AC; P su ED; rapporto BS/SD

In un triangolo $ABC$, i punti $D$ e $E$ si trovano sui segmenti $BC$ e $AC$ in modo tale che $BD=3DC$ e $AE=4EC$. Il punto $P$ è in linea $ED$ in modo tale che $D$ sia il punto medio del segmento $EP$. Le linee $AP$ e $BC$ si incrociano al punto $S$. Trova il rapporto $BS/SD$.

src_rmo_2013_mumbai__Q04

Show gcd(b3,c3)=a2 for sequences defined by gcd and lcm

Let $a_1,b_1,c_1$ be natural numbers. Define $a_2=\gcd (b_1,c_1),b_2=\gcd (c_1,a_1),c_2=\gcd (a_1,b_1),$ and $a_3=\mathrm{lcm}(b_2,c_2),b_3=\mathrm{lcm}(c_2,a_2),c_3=\mathrm{lcm}(a_2,b_2).$ Show that $\gcd (b_3,c_3)=a_2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra gcd(b3,c3)=a2 per le sequenze definite da gcd e lcm

$a_1,b_1,c_1$ siano numeri naturali. Definire $a_2=\gcd (b_1,c_1),b_2=\gcd (c_1,a_1),c_2=\gcd (a_1,b_1),$ e $a_3=\mathrm{lcm}(b_2,c_2),b_3=\mathrm{lcm}(c_2,a_2),c_3=\mathrm{lcm}(a_2,b_2).$ Mostra che $\gcd (b_3,c_3)=a_2$.

src_rmo_2013_mumbai__Q05

Find common divisor of P(2013!+1) and Q(2013!+1) for given polynomials

Let $a,b$ be real numbers and let $P(x)=x^3+a{x}^2+b$ and $Q(x)=x^3+bx+a$. Suppose that the roots of the equation $P(x)=0$ are the reciprocals of the roots of the equation $Q(x)=0$. Find the common divisor of $P(2013!+1)$ and $Q(2013!+1)$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il divisore comune di P(2013!+1) e Q(2013!+1) per i polinomi dati

$a,b$ siano numeri reali e $P(x)=x^3+a{x}^2+b$ e $Q(x)=x^3+bx+a$. Supponiamo che le radici dell’equazione $P(x)=0$ siano le reciprocità delle radici dell’equazione $Q(x)=0$. Trova il divisore comune di $P(2013!+1)$ e $Q(2013!+1)$.

src_rmo_2013_mumbai__Q06