Regional Mathematical Olympiad 2013 — Region 1

Acute triangle with circumcircle, find angle BAC

Let $ABC$ be an acute angled triangle. The circle $\Gamma$ with $BC$ as diameter intersects $AB$ and $AC$ again at $P$ and $Q$, respectively. Determine $\angle BAC$ given that the orthocenter of triangle $APQ$ lies on $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con circoncircolo, angolo di ricerca BAC

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo angolato acuto. Il cerchio $\Gamma$ con $BC$ come diametro si interseca di nuovo con $AB$ e $AC$ rispettivamente a $P$ e $Q$. Determinare $\angle BAC$ dato che l’ortocentro del triangolo $APQ$ si trova su $\Gamma$.

src_rmo_2013_r1__Q01

Find a^2013 + b^2013 + c^2013 given polynomial root conditions

Let $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ and $g(x)=x^3+b{x}^2+cx+a$, where $a,b,c$ are integers with $c\ne 0$. Suppose the following conditions hold: (a) $f(1)=0$; (b) the roots of $g(x)$ are squares of the roots of $f(x)$. Find the value of $a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova a^2013 + b^2013 + c^2013 date le condizioni radicali polinomiche

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ e $g(x)=x^3+b{x}^2+cx+a$, dove $a,b,c$ sono integri con $c\ne 0$. Supponiamo che siano valide le seguenti condizioni: a) $f(1)=0$; b) le radici di $g(x)$ sono quadrati delle radici di $f(x)$. Trova il valore di $a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}$.

src_rmo_2013_r1__Q02

Find all primes p,q such that p divides q^2-4 and q divides p^2-1

Find all primes $p$ and $q$ such that $p$ divides $q^2-4$ and $q$ divides $p^2-1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri primi p,q in modo che p divida q^2-4 e q divida p^2-1

Trova tutti i numeri primi $p$ e $q$ in modo tale che $p$ divida $q^2-4$ e $q$ divida $p^2-1$.

src_rmo_2013_r1__Q03

Count 10-tuples of integers with bounded entries and sum-of-products condition

Find the number of 10-tuples $(a_1,a_2,\dots ,a_{10})$ of integers such that $|a_i|\le 1$ and $a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots +a_{10}^2-a_1{a}_2-a_2{a}_3-a_3{a}_4-\cdots -a_9{a}_{10}-a_{10}{a}_1=2.$

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare 10 triples di numeri interi con voci limitate e condizione somma di prodotti

Trova il numero di 10 tupli $(a_1,a_2,\dots ,a_{10})$ di numeri interi come $|a_i|\le 1$ e $a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots +a_{10}^2-a_1{a}_2-a_2{a}_3-a_3{a}_4-\cdots -a_9{a}_{10}-a_{10}{a}_1=2.$

src_rmo_2013_r1__Q04

Triangle with angle A=90 and point D,E on BC; prove angle DAE=45

Let $ABC$ be a triangle with $\angle A=90^{\circ }$ and $AB=AC$. Let $D$ and $E$ be points on the segment $BC$ such that $BD:DE:EC=3:5:4$. Prove that $\angle DAE=45^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con angolo A=90 e punto D,E su BC; prova angolo DAE=45

Il $ABC$ deve essere un triangolo con $\angle A=90^{\circ }$ e $AB=AC$. Il punto $D$ e il punto $E$ devono essere punti del segmento $BC$ in modo tale che $BD:DE:EC=3:5:4$. Dimostra che $\angle DAE=45^{\circ }$.

src_rmo_2013_r1__Q05

Prove n divisible by 6 given both quadratics have integer roots

Suppose $m$ and $n$ are integers such that both the quadratic equations $x^2+mx-n=0$ and $x^2-mx+n=0$ have integer roots. Prove that $n$ is divisible by $6$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove n divisibile per 6 dato che entrambe le quadratiche hanno radici interi

Supponiamo che $m$ e $n$ siano integri in modo tale che entrambe le equazioni quadratiche $x^2+mx-n=0$ e $x^2-mx+n=0$ abbiano radici interi. Provare che $n$ è divisibile da $6$.

src_rmo_2013_r1__Q06