Regional Mathematical Olympiad 2013 — Region 2

No integer solutions to (x^5-1)/(x-1)=y^2+1

Prove that there do not exist natural numbers $x$ and $y$, with $x>1$, such that $\frac{x^5-1}{x-1}=y^2+1.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Non ci sono soluzioni interi per (x^5-1)/(x-1)=y^2+1

Provare che non esistono numeri naturali $x$ e $y$, con $x>1$, in modo tale che $\frac{x^5-1}{x-1}=y^2+1.$

src_rmo_2013_r2__Q01

Triangle with altitude, circumcenter, and tangent collinearity

In a triangle $ABC$, $AD$ is the altitude from $A$ to $BC$ and $H$ is the orthocentre. Let $K$ be the centre of the circle passing through $D$ and tangent to $BH$ at $H$. Prove that $DK$ bisects $AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con altitudine, circoncentro e collinearietà tangente

In un triangolo $ABC$, $AD$ è l’altitudine da $A$ a $BC$ e $H$ è l’ortocentro. Il $K$ deve essere il centro del cerchio che attraversa $D$ e tangente a $BH$ al punto $H$. Provare che $DK$ bisecta $AC$.

src_rmo_2013_r2__Q02

Sign changes in 2013^2+2014^2+…+n^2 to equal 9999

Consider the expression $2013^2+2014^2+2015^2+\cdots +n^2.$ Prove that there exists a natural number $n>2013$ for which one can change a suitable number of plus signs to minus signs in the above expression to make the resulting expression equal $9999$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Cambiamenti di segno nel 2013^2+2014^2+…+n^2 per essere uguali a 9999

Considerare l’espressione $2013^2+2014^2+2015^2+\cdots +n^2.$ Prove che esiste un numero naturale $n>2013$ per il quale si può cambiare un numero appropriato di segni più a segni meno nell’espressione di cui sopra per rendere l’espressione risultante uguale a $9999$.

src_rmo_2013_r2__Q03

Kite triangle with 90-degree angle, angle bisector property

Let $ABC$ be a triangle with $\angle A=90^{\circ }$ and $AB=AC$. Let $D$ and $E$ be points on the segment $BC$ such that $BD:DE:EC=1:2:\sqrt{3}$. Prove that $\angle DAE=45^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo di kit con angolo di 90 gradi, proprietà del bisettore angolare

Il $ABC$ deve essere un triangolo con $\angle A=90^{\circ }$ e $AB=AC$. Il punto $D$ e il punto $E$ devono essere punti del segmento $BC$ in modo tale che $BD:DE:EC=1:2:\sqrt{3}$. Dimostra che $\angle DAE=45^{\circ }$.

src_rmo_2013_r2__Q04

Polygon side-perimeter sum inequality

Let $n\ge 3$ be a natural number and let $P$ be a polygon with $n$ sides. Let $a_1,a_2,\dots ,a_n$ be the lengths of the sides of $P$ and let $p$ be its perimeter. Prove that $\frac{a_1}{p-a_1}+\frac{a_2}{p-a_2}+\cdots +\frac{a_n}{p-a_n}<2.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa di disuguaglianza del perimetro laterale di un poligono

Che $n\ge 3$ sia un numero naturale e che $P$ sia un poligono con lati $n$. Il $a_1,a_2,\dots ,a_n$ è la lunghezza dei lati di $P$ e il $p$ è il suo perimetro. Provare che $\frac{a_1}{p-a_1}+\frac{a_2}{p-a_2}+\cdots +\frac{a_n}{p-a_n}<2.$

src_rmo_2013_r2__Q05

Weighing balance placements counting inequality T(100)>T(99)

Let $n\ge 3$ be a natural number, let $T(n)$ denote the number of ways we can place $n$ objects of weights $1,2,\dots ,n$ on a balance such that the sum of the weights in each pan is equal. Prove that $T(100)>T(99)$.

Topic: Combinatoria Metodo: Biiezione, Doppio conteggio Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Posizioni di bilanci ponderate contando le disuguaglianze T(100)>T(99) *

$n\ge 3$ sia un numero naturale, $T(n)$ indichi il numero di modi in cui possiamo posizionare $n$ oggetti di pesi $1,2,\dots ,n$ su un equilibrio in modo tale che la somma dei pesi in ogni pannello sia uguale. Prove che $T(100)>T(99)$.

src_rmo_2013_r2__Q06