Regional Mathematical Olympiad 2013 — Region 3

Count eight-digit numbers with digit sum equal to 4

Find the number of eight-digit numbers with the sum of digits equal to 4.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare numeri a otto cifre con somma di numeri pari a 4

Trova il numero di numeri a otto cifre con la somma delle cifre uguale a 4.

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Find all 4-tuples of naturals with a!+b!+c!=3^d

Find all 4-tuples $(a,b,c,d)$ of natural numbers with $a\le b\le c$ and $a!+b!+c!=3^d$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti i 4 triples di naturali con a!+b!+c!=3^d

Trovare tutti i quadrupli $(a,b,c,d)$ dei numeri naturali con $a\le b\le c$ e $a!+b!+c!=3^d$.

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Orthocentre of ABD on circle Γ iff on perpendicular bisector of BC

In an acute-angled triangle $ABC$ with $AB<AC$, the circle $\Gamma$ touches $AB$ at $B$ and passes through $C$ intersecting $AC$ again at $D$. Prove that the orthocentre of triangle $ABD$ lies on $\Gamma$ if and only if it lies on the perpendicular bisector of $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ortocentro di ABD sul cerchio Γ iff sul bisettore perpendicolare di BC

In un triangolo acuto $ABC$ con $AB<AC$, il cerchio $\Gamma$ tocca $AB$ a $B$ e passa attraverso $C$ incrociandosi di nuovo a $AC$ a $D$. Prova che l’ortocentro del triangolo $ABD$ si trova su $\Gamma$ se e solo se si trova sul bisettore perpendicolare di $BC$.

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Prove f(x)+2x is not a Fermat polynomial when f(0)=1000

A polynomial is called a \textit{Fermat polynomial} if it can be written as the sum of the squares of two polynomials with integer coefficients. Suppose that $f(x)$ is a Fermat polynomial such that $f(0)=1000$. Prove that $f(x)+2x$ is not a Fermat polynomial.

Topic: Algebra Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che f(x) +2x non è un polinomio di Fermat quando f(0)=1000

Un polinomio è chiamato \textit{polinomio Fermat} se può essere scritto come la somma dei quadrati di due polinomi con coefficienti interi. Supponiamo che $f(x)$ sia un polinomio di Fermat tale che $f(0)=1000$. Prova che $f(x)+2x$ non è un polinomio di Fermat.

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Sequence of triangles from orthocentre reflections; angle condition implies 60°

Let $ABC$ be a triangle which is not right-angled. Define a sequence of triangles $A_i{B}_i{C}_i$, with $i\ge 0$, as follows: $A_0{B}_0{C}_0$ is the triangle $ABC$, and, for $i\ge 0$, $A_{i+1},B_{i+1},C_{i+1}$ are the reflections of the orthocentre of triangle $A_i{B}_i{C}_i$ in the sides $B_i{C}_i,C_i{A}_i,A_i{B}_i$, respectively. Assume that $\angle A_m=\angle A_n$ for some natural numbers $m,n$ with $m\ne n$. Prove that $\angle A=60^{\circ }$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Induzione, Invarianti, Ricorsione Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Sequenza di triangoli da riflessioni ortocentriche; condizione angolare implica 60°

Che $ABC$ sia un triangolo non rettangolare. Definire una sequenza di triangoli $A_i{B}_i{C}_i$, con $i\ge 0$, come segue: $A_0{B}_0{C}_0$ è il triangolo $ABC$, e, per $i\ge 0$, $A_{i+1},B_{i+1},C_{i+1}$ sono rispettivamente i riflessi dell’ortocentro del triangolo $A_i{B}_i{C}_i$ nei lati $B_i{C}_i,C_i{A}_i,A_i{B}_i$. Supponiamo che $\angle A_m=\angle A_n$ per alcuni numeri naturali $m,n$ con $m\ne n$. Prove che $\angle A=60^{\circ }$.

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Good subset of regular n-gon (n prime) has exactly four elements

Let $n\ge 3$ be a natural number and let $A_1{A}_2\cdots A_n$ be a regular polygon. Let $X=\{1,2,\dots ,n\}$. A subset $\{i_1,i_2,\dots ,i_k\}$ of $X$, with $k\ge 3$ and $i_1<i_2<\cdots <i_k$, is called a \textit{good subset} if the angles of the polygon $A_{i_1}{A}_{i_2}\cdots A_{i_k}$, when arranged in order, are in arithmetic progression. If $n$ is a prime, show that a proper good subset of $X$ contains exactly four elements.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

Un buon sottoinsieme di n-gon regolare (n primo) ha esattamente quattro elementi

Che $n\ge 3$ sia un numero naturale e che $A_1{A}_2\cdots A_n$ sia un poligono regolare. Let $X=\{1,2,\dots ,n\}$. Un sottoinsieme $\{i_1,i_2,\dots ,i_k\}$ di $X$, con $k\ge 3$ e $i_1<i_2<\cdots <i_k$, è chiamato \textit{good subset} se gli angoli del poligono $A_{i_1}{A}_{i_2}\cdots A_{i_k}$, quando disposti in ordine, sono in progressione aritmetica. Se $n$ è un primo, mostrare che un sottoinsieme buono appropriato di $X$ contiene esattamente quattro elementi.

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