Regional Mathematical Olympiad 2013 — Region 4

Circle through O intersects another circle; angle equality proof

Let $\Gamma$ be a circle with centre $O$. Let $A$ be another circle passing through $O$ and intersecting $\Gamma$ at points $A$ and $B$. A diameter $CD$ of $\Gamma$ intersects $A$ at a point $P$ different from $O$. Prove that $\angle APC=\angle BPD.$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo attraverso O incrocia un altro circolo; prova di ugualezza angolare

Il $\Gamma$ deve essere un cerchio con il centro $O$. Il $A$ deve essere un altro cerchio che attraversa $O$ e che si interseca $\Gamma$ ai punti $A$ e $B$. Un diametro $CD$ di $\Gamma$ interseca $A$ in un punto $P$ diverso da $O$. Provare che $\angle APC=\angle BPD.$

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Smallest five-digit number with digits in strictly increasing order not divisible by 11

Determine the smallest prime that does not divide any five-digit number whose digits are in a strictly increasing order.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numero a cinque cifre minore con cifre in ordine rigorosamente in aumento non divisibili per 11

Determinare il primo più piccolo che non divide un numero a cinque cifre il cui numero è in ordine rigorosamente crescente.

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Inequality for real numbers a,b,c,d,e > 1

Given real numbers $a,b,c,d,e>1$ prove that $\frac{a^2}{c-1}+\frac{b^2}{d-1}+\frac{c^2}{e-1}+\frac{d^2}{a-1}+\frac{e^2}{b-1}\ge 20.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza per i numeri reali a,b,c,d,e > 1

Date le cifre reali $a,b,c,d,e>1$ dimostrano che $\frac{a^2}{c-1}+\frac{b^2}{d-1}+\frac{c^2}{e-1}+\frac{d^2}{a-1}+\frac{e^2}{b-1}\ge 20.$

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Non-zero real x with x^3+1/x^3 and x^5+1/x^5 rational implies x+1/x rational

Let $x$ be a non-zero real number such that $x^3+\frac{1}{x^3}$ and $x^5+\frac{1}{x^5}$ are both rational numbers. Prove that $x+\frac{1}{x}$ is a rational number.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Non-zero reale x con x^3+1/x^3 e x^5+1/x^5 razionale implica x+1/x razionale

Che $x$ sia un numero reale non-zero tale che $x^3+\frac{1}{x^3}$ e $x^5+\frac{1}{x^5}$ siano entrambi numeri razionali. Prova che $x+\frac{1}{x}$ è un numero razionale.

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Triangle ABC with orthocentre H; circumcircles of ACP and ABP meet line CH at R; H is incentre of PQR

In a triangle $ABC$, let $H$ denote its orthocentre. Let $P$ be the reflection of $A$ with respect to $BC$. The circumcircle of triangle $ABP$ intersects the line $BH$ again at $Q$, and the circumcircle of triangle $ACP$ intersects the line $CH$ again at $R$. Prove that $H$ is the incentre of triangle $PQR$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con ortrocentro H; circoncircoli di ACP e ABP incontrano la linea CH a R; H è centro di PQR

In un triangolo $ABC$, $H$ indichi il suo centro ortodosso. $P$ sia il riflesso di $A$ rispetto a $BC$. Il circoncircolo del triangolo $ABP$ incrocia di nuovo la linea $BH$ a $Q$, e il circoncircolo del triangolo $ACP$ incrocia di nuovo la linea $CH$ a $R$. Prova che $H$ è l’incentro del triangolo $PQR$.

src_rmo_2013_r4__Q05

Regular 20-gon vertices 3-coloured; three vertices same colour form isosceles triangle

Suppose that the vertices of a regular polygon of 20 sides are coloured with three colours – red, blue and green – such that there are exactly three red vertices. Prove that there are three vertices $A,B,C$ of the polygon having the same colour such that triangle $ABC$ is isosceles.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio dei cassetti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Regularmente i vertici di 20 goni sono di 3 colori; tre vertici dello stesso colore formano un triangolo di uguali osceli

Supponiamo che i vertici di un poligono regolare di 20 lati siano colorati con tre colori rosso, blu e verde in modo tale che ci siano esattamente tre vertici rossi. Prove che ci sono tre vertici $A,B,C$ del poligono dello stesso colore in modo tale che il triangolo $ABC$ sia isosceles.

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