Regional Mathematical Olympiad 2014 — Mumbai

Determine if three positive reals satisfying a quartic relation form triangle sides

Three positive real numbers $a,b,c$ are such that $a^2+5b^2+4c^2-4ab-4bc=0$. Can $a,b,c$ be the lengths of the sides of a triangle? Justify your answer.

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Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determine se tre reali positivi che soddisfano una relazione quarticco formano lati del triangolo

Tre numeri reali positivi $a,b,c$ sono tali che $a^2+5b^2+4c^2-4ab-4bc=0$. $a,b,c$ può essere la lunghezza dei lati di un triangolo? Giustifica la tua risposta.

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src_rmo_2014_mumbai__Q01

Find all positive integer pairs (a,b) from roots in AP and GP

The roots of the equation $x^3-3a{x}^2+18c=0$ form a non-constant arithmetic progression and the roots of the equation $x^3+b{x}^2+x-c^3=0$ form a non-constant geometric progression. Given that $a,b,c$ are real numbers, find all possible positive integral values $a$ and $b$.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di integri positivi (a,b) dalle radici di AP e GP

Le radici dell’equazione $x^3-3a{x}^2+18c=0$ formano una progressione aritmetica non costante e le radici dell’equazione $x^3+b{x}^2+x-c^3=0$ formano una progressione geometrica non costante. Poiché $a,b,c$ sono numeri reali, trovare tutti i possibili valori integrali positivi $a$ e $b$.

src_rmo_2014_mumbai__Q02

Prove BO perpendicular to AC when DE parallel to AC

Let $ABC$ be an acute-angled triangle in which $\angle ABC$ is the largest angle. Let $O$ be its circumcentre. The perpendicular bisectors of $BC$ and $AB$ meet $AC$ at $X$ and $Y$ respectively. The internal bisectors of $\angle AXB$ and $\angle BYC$ meet $AB$ and $BC$ at $D$ and $E$ respectively. Prove that $BO$ is perpendicular to $AC$ if $DE$ is parallel to $AC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove BO perpendicolare all’AC quando DE è parallelo ad AC

Il $ABC$ è un triangolo acuto angolato in cui $\angle ABC$ è l’angolo più grande. Che il $O$ sia il suo circoncentro. I bisettori perpendicolari di $BC$ e $AB$ si incontrano rispettivamente a $AC$ e $Y$. I bisettori interni di $\angle AXB$ e $\angle BYC$ incontrano $AB$ e $BC$ rispettivamente a $D$ e $E$. Prova che $BO$ è perpendicolare a $AC$ se $DE$ è parallelo a $AC$.

src_rmo_2014_mumbai__Q03

Count distinct paths from (0,0) to (8,8) with exactly three right steps

A person moves in the $x$-$y$ plane moving only along lines with integer co-ordinates $x$ and $y$ only. When she is at point $(x,y)$, she takes a step based on the following rules: (a) if $x+y$ is even she moves to either $(x,y+1)$ or $(x+1,y+1)$; (b) if $x+y$ is odd she moves to either $(x,y+1)$ or $(x+1,y+1)$. How many distinct paths can she take to go from $(0,0)$ to $(8,8)$, given that she took exactly three steps to the right (i.e., $(x,y)$ to $(x+1,y)$)?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare percorsi distinti da (0,0) a (8,8) con esattamente tre passi a destra

Una persona si muove nel piano $x$-$y$ che si muove solo in linea con le coordinate interi $x$ e $y$. Quando si trova al punto $(x,y)$, fa un passo in base alle seguenti regole: a) se $x+y$ è anche si sposta a $(x,y+1)$ o a $(x+1,y+1)$; b) se $x+y$ è pari si sposta a $(x,y+1)$ o a $(x+1,y+1)$. Quanti percorsi distinti può percorrere per passare da$(0,0)$ a$(8,8)$, dato che ha fatto esattamente tre passi a destra (cioè $(x,y)$ a$(x+1,y)$)?

src_rmo_2014_mumbai__Q04

Prove (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) >= 125 given reciprocal sum at most 1

Let $a,b,c$ be positive numbers such that $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\le 1.$ Prove that $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\ge 125$. When does the equality hold?

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Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) >= 125 dati somma reciproca massima 1

Che $a,b,c$ siano numeri positivi tali che $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\le 1.$ dimostri che $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\ge 125$. Quando la parità dura?

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src_rmo_2014_mumbai__Q05

Prove lines from contact triangle incentres to opposite contact points are concurrent

Let $D,E,F$ be the points of contact of the incircle of an acute-angled triangle $ABC$ with $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Let $I_1$, $I_2$, $I_3$ be the incentres of the triangles $AFE$, $BDF$, $CED$ respectively. Prove that the lines $I_{1}D$, $I_{2}E$, $I_{3}F$ are concurrent.

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Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le linee di prova dagli incentri del triangolo di contatto ai punti di contatto opposti sono simultanee

$D,E,F$ siano i punti di contatto dell’incircolo di un triangolo acuto $ABC$ con $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente. I segmenti $I_1$, $I_2$ e $I_3$ siano rispettivamente gli incentri dei triangoli $AFE$, $BDF$ e $CED$. Prove che le righe $I_{1}D$, $I_{2}E$, $I_{3}F$ sono simultanee.

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src_rmo_2014_mumbai__Q06