Regional Mathematical Olympiad 2014 — Region 1

Triangle with perpendicular foot and equal area regions implies BD=DC

Let $ABC$ be a triangle and let $AD$ be the perpendicular from $A$ to $BC$. Let $K$, $L$, $M$ be points on $AD$ such that $AK=KL=LM=MD$. If the sum of the areas of the shaded regions is equal to the sum of the areas of the unshaded regions, prove that $BD=DC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con piede perpendicolare e regioni di superficie uguali implica BD=DC

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo e che $AD$ sia la perpendicolare da $A$ a $BC$. I punti $K$, $L$, $M$ siano punti su $AD$ in modo tale che $AK=KL=LM=MD$. Se la somma delle superfici delle regioni ombreggiate è pari alla somma delle superfici delle regioni non ombreggiate, dimostrare che $BD=DC$.

src_rmo_2014_r1__Q01

Arithmetic progression: express common difference d in terms of x, y, z

Let $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ be an arithmetic progression of positive real numbers with common difference $d$. Let (i) $a_1^2+a_3^2+\cdots +a_{2n-1}^2=x$, (ii) $a_2^2+a_4^2+\cdots +a_{2n}^2=y$, and (iii) $a_n+a_{n+1}=z$. Express $d$ in terms of $x$, $y$, $z$, $n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: skill_manipolazione_algebrica, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Progressione aritmetica: esprimere la differenza comune d in termini di x, y, z

$a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ sia una progressione aritmetica dei numeri reali positivi con differenza comune $d$. Per i) $a_1^2+a_3^2+\cdots +a_{2n-1}^2=x$, ii) $a_2^2+a_4^2+\cdots +a_{2n}^2=y$ e iii) $a_n+a_{n+1}=z$. Esprimere $d$ in termini di $x$, $y$, $z$, $n$.

src_rmo_2014_r1__Q02

Digits of 2^r permuted give 2^s; prove r=s

Suppose for some positive integers $r$ and $s$, the digits of $2^r$ is obtained by permuting the digits of $2^s$ in decimal expansion. Prove that $r=s$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

I numeri di 2^r permutati danno 2^s; provare r=s

Supponiamo che per alcuni integri positivi $r$ e $s$, le cifre di $2^r$ siano ottenute permutando le cifre di $2^s$ in espansione decimale. Prove che $r=s$.

src_rmo_2014_r1__Q03

4x4 grid with numbers; 2x2 sub-grids products not all divisible by 16

Is it possible to write the numbers $17,18,19,\dots ,32$ in a $4\times 4$ grid of unit squares, with one number in each square, such that the product of the numbers in each $2\times 2$ sub-grid $AMRG$, $GRND$, $MBHR$ and $RHCN$ is divisible by $16$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

griglia 4x4 con numeri; prodotti delle sottogriglie 2x2 non tutti divisibili per 16

È possibile scrivere i numeri $17,18,19,\dots ,32$ in una griglia di quadrati unitari $4\times 4$, con un numero in ogni quadrato, in modo che il prodotto dei numeri in ciascuna sottogriglia $2\times 2$ $AMRG$, $GRND$, $MBHR$ e $RHCN$ sia divisibile da $16$?

src_rmo_2014_r1__Q04

Acute triangle, orthocentre, circumcircles: find point X independent of P

Let $ABC$ be an acute-angled triangle and let $H$ be its ortho-centre. For any point $P$ on the circum-circle of triangle $ABC$, let $Q$ be the point of intersection of the line $BH$ with the line $AP$. Show that there is a unique point $X$ on the circum-circle of $ABC$ such that for every point $P\ne A,B$, the circum-circle of $HQP$ passes through $X$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, ortocentro, circoncircoli: trovare il punto X indipendente da P

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo a angolo acuto e che $H$ sia il suo centro orto. Per ogni punto $P$ sul circoncircolo del triangolo $ABC$, $Q$ deve essere il punto di intersezione della linea $BH$ con la linea $AP$. Indicare che sul circoncircolo di $ABC$ vi è un punto unico $X$ tale che per ogni punto $P\ne A,B$ il circoncircolo di $HQP$ passi attraverso $X$.

src_rmo_2014_r1__Q05

Positive reals summing to 1; find smallest K for sum inequality

Let $x_1,x_2,\dots ,x_{2014}$ be positive real numbers such that ${\sum }_{j=1}^{2014}{x}_j=1$. Determine with proof the smallest constant $K$ such that $K{\sum }_{j=1}^{2014}\frac{x_j^2}{1-x_j}\ge 1.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rali positivi sommati a 1; trovare il più piccolo K per la disuguaglianza sommata

$x_1,x_2,\dots ,x_{2014}$ siano numeri reali positivi come ${\sum }_{j=1}^{2014}{x}_j=1$. Determinare con prova la costante più piccola $K$ in modo tale che $K{\sum }_{j=1}^{2014}\frac{x_j^2}{1-x_j}\ge 1.$

src_rmo_2014_r1__Q06