Regional Mathematical Olympiad 2014 — Region 2

Perpendicular bisectors of sides meet at incentre of triangle BXY

In an acute-angled triangle $ABC$, $\angle ABC$ is the largest angle. The perpendicular bisectors of $BC$ and $BA$ intersect $AC$ at $X$ and $Y$ respectively. Prove that the circumcentre of triangle $ABC$ is incentre of triangle $BXY$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

I bisettieri perpendicolari dei lati si incontrano al centro del triangolo BXY

In un triangolo a angolo acuto $ABC$, $\angle ABC$ è l’angolo più grande. I bisettori perpendicolari di $BC$ e $BA$ si incrociano rispettivamente a $X$ e $Y$. Prova che il circoncentro del triangolo $ABC$ è il centro del triangolo $BXY$.

src_rmo_2014_r2__Q01

Prove inequality for positive reals x, y, z

Let $x,y,z$ be positive real numbers. Prove that $\frac{y^2+z^2}{x}+\frac{z^2+x^2}{y}+\frac{x^2+y^2}{z}\ge 2(x+y+z).$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza dei valori reali positivi x, y, z

Lasciate che $x,y,z$ siano numeri reali positivi. Provare che $\frac{y^2+z^2}{x}+\frac{z^2+x^2}{y}+\frac{x^2+y^2}{z}\ge 2(x+y+z).$

src_rmo_2014_r2__Q02

Find all pairs (x,y) of positive integers with 2x+7y dividing 7x+2y

Find all pairs $(x,y)$ of positive integers such that $2x+7y$ divides $7x+2y$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie (x,y) di numeri interi positivi con 2x+7y dividendo 7x+2y

Trova tutte le coppie $(x,y)$ di integri positivi in modo tale che $2x+7y$ divida $7x+2y$.

src_rmo_2014_r2__Q03

Prove sum of reciprocals of consecutive prime pairs equals (n-1)/(2n+2)

For any positive integer $n>1$, let $P(n)$ denote the largest prime not exceeding $n$. Let $N(n)$ denote the next prime larger than $P(n)$. (For example $P(10)=7$ and $N(10)=11$, while $P(11)=11$ and $N(11)=13$.) If $n+1$ is a prime number, prove that the value of the sum $\frac{1}{P(2)N(2)}+\frac{1}{P(3)N(3)}+\frac{1}{P(4)N(4)}+\cdots +\frac{1}{P(n)N(n)}$ equals $\frac{n-1}{2(n+2)}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa provata delle reciprocità di coppie prime consecutive uguali (n-1)/(2n+2)

Per qualsiasi numero intero positivo $n>1$, $P(n)$ indica il primo più grande non superiore a $n$. $N(n)$ indichi il primo successivo più grande di $P(n)$. (ad esempio $P(10)=7$ e $N(10)=11$, mentre $P(11)=11$ e $N(11)=13$.) Se $n+1$ è un numero primo, dimostrare che il valore della somma $\frac{1}{P(2)N(2)}+\frac{1}{P(3)N(3)}+\frac{1}{P(4)N(4)}+\cdots +\frac{1}{P(n)N(n)}$ è uguale a $\frac{n-1}{2(n+2)}$.

src_rmo_2014_r2__Q04

Triangle with AB>AC: point on line AB beyond A, prove BQ=2AP

Let $ABC$ be a triangle with $AB>AC$. Let $P$ be a point on the line $AB$ beyond $A$ such that $AP+PC=AB$. Let $M$ be the mid-point of $BC$ and let $Q$ be the point on the side $AB$ such that $CM\perp QM$. Prove that $BQ=2AP$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con AB>AC: punto sulla linea AB oltre A, prova BQ=2AP

Che $ABC$ sia un triangolo con $AB>AC$. Il $P$ deve essere un punto della linea $AB$ al di là di $A$ in modo tale che $AP+PC=AB$. Il $M$ deve essere il punto medio di $BC$ e il $Q$ deve essere il punto sul lato $AB$ in modo tale che $CM\perp QM$. Prova che $BQ=2AP$.

src_rmo_2014_r2__Q05

Odd n: sum of row products and column products in n×n grid is nonzero

Suppose $n$ is odd and each square of an $n\times n$ grid is arbitrarily filled with either $1$ or $-1$. Let $r_j$ and $c_k$ denote the product of all numbers in the $j$-th row and $k$-th column respectively, $1\le j,k\le n$. Prove that ${\sum }_{j=1}^n{r}_j+{\sum }_{k=1}^n{c}_k\ne 0.$

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Invarianti, Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Odd n: la somma dei prodotti delle righe e dei prodotti delle colonne nella griglia n×n non è zero

Supponiamo che $n$ sia pari e ogni quadrato di una griglia $n\times n$ sia arbitrariamente riempito con $1$ o $-1$. $r_j$ e $c_k$ indichino il prodotto di tutti i numeri rispettivamente nella riga $j$ e nella colonna $k$, $1\le j,k\le n$. Provare che ${\sum }_{j=1}^n{r}_j+{\sum }_{k=1}^n{c}_k\ne 0.$

src_rmo_2014_r2__Q06