Regional Mathematical Olympiad 2014 — Region 3

Circumcircle of ARB cuts AC at X; prove RX perpendicular BC

Let $ABC$ be an acute-angled triangle and suppose $\angle ABC$ is the largest angle of the triangle. Let $R$ be its circumcentre. Suppose the circumcircle of triangle $ARB$ cuts $AC$ again in $X$. Prove that $RX$ is perpendicular to $BC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo di ARB taglia AC a X; prova RX perpendicolare BC

Che $ABC$ sia un triangolo a angolo acuto e supponiamo che $\angle ABC$ sia l’angolo più grande del triangolo. Che il $R$ sia il suo circoncentro. Supponiamo che il circoncircolo del triangolo $ARB$ tagli $AC$ di nuovo in $X$. Prova che $RX$ è perpendicolare a $BC$.

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Find all real x, y such that x^2+2y^2+1/2 le x(2y+1)

Find all real numbers $x$ and $y$ such that $x^2+2y^2+\frac{1}{2}\le x(2y+1).$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Trova tutte le vere x, y tali che x^2+2y^2+1/2 le x(2y+1) *

Trova tutti i numeri reali $x$ e $y$ in modo tale che $x^2+2y^2+\frac{1}{2}\le x(2y+1).$

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No positive integer n<2310 with 2310 | n(2310-n)

Prove that there does not exist any positive integer $n<2310$ such that $n(2310-n)$ is a multiple of $2310$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Nessun numero intero positivo n <2310 con 2310 n 2310-n

Prova che non esiste un intero positivo $n<2310$ tale che $n(2310-n)$ sia un multiple di $2310$.

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Find all positive reals x,y,z satisfying three cyclic equations

Find all positive real numbers $x,y,z$ such that $2x-2y+\frac{1}{z}=\frac{1}{2014},2y-2z+\frac{1}{x}=\frac{1}{2014},2z-2x+\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i reali positivi x,y,z che soddisfano tre equazioni cicliche

Trova tutti i numeri reali positivi $x,y,z$ in modo tale che $2x-2y+\frac{1}{z}=\frac{1}{2014},2y-2z+\frac{1}{x}=\frac{1}{2014},2z-2x+\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}.$

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Circumcentre of BDX lies on circumcircle of ABX

Let $ABC$ be a triangle. Let $X$ be on the segment $BC$ such that $AB=AX$. Let $AX$ meet the circumcircle $\Gamma$ of triangle $ABC$ again at $D$. Show that the circumcentre of $△BDX$ lies on $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il cerchio di BDX si trova sul cerchio di ABX

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Il segmento $X$ deve essere $BC$ in modo tale che $AB=AX$. Raggiungere il circolo $\Gamma$ del triangolo $ABC$ a $D$. Indicare che il circoncentro di $△BDX$ si trova su $\Gamma$.

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Count 3-digit numbers n with S(S(n))=2

For any natural number $n$, let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n$. Find the number of all 3-digit numbers $n$ such that $S(S(n))=2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri a 3 cifre n con S(S(n))=2

Per qualsiasi numero naturale $n$, $S(n)$ indica la somma delle cifre di $n$. Trova il numero di tutti i numeri a 3 cifre $n$ in modo tale che $S(S(n))=2$.

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