Regional Mathematical Olympiad 2014 — Region 4

Isosceles trapezium incircle: CE equals geometric mean of AB and CD

Let $ABCD$ be an isosceles trapezium having an incircle; let $AB$ and $CD$ be the parallel sides and let $CE$ be the perpendicular from $C$ on to $AB$. Prove that $CE$ is equal to the geometric mean of $AB$ and $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo di trapezio isosceles: CE è uguale alla media geometrica di AB e CD

Che $ABCD$ sia un trapezio di parice con un incircolo; che $AB$ e $CD$ siano i lati paralleli e che $CE$ sia la perpendicolare da $C$ a $AB$. Provare che $CE$ è uguale alla media geometrica di $AB$ e $CD$.

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Prove inequality $4x^4+4y^3+5x^2+y+1\ge 12xy$ for positive reals

If $x$ and $y$ are positive real numbers, prove that $4x^4+4y^3+5x^2+y+1\ge 12xy.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Prove la disuguaglianza $4x^4+4y^3+5x^2+y+1\ge 12xy$ per i valori positivi *

Se $x$ e $y$ sono numeri reali positivi, dimostrare che $4x^4+4y^3+5x^2+y+1\ge 12xy.$

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Find all pairs m>n of positive integers with gcd chain equal to gcd(m,2m-n)

Determine all pairs $m>n$ of positive integers such that $1=\gcd (n+1,m+1)=\gcd (n+2,m+2)=\cdots =\gcd (m,2m-n).$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Ricerca tutte le coppie m>n di integri positivi con catena gcd uguale a gcd(m,2m-n) *

Determinare tutte le coppie $m>n$ di integri positivi tali che $1=\gcd (n+1,m+1)=\gcd (n+2,m+2)=\cdots =\gcd (m,2m-n).$

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Minimum area of right-angled triangle with inradius 1

What is the minimal area of a right-angled triangle whose inradius is $1$ unit?

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

L’area minima di un triangolo rettangolare con raggio di inraggio 1

Qual è la superficie minima di un triangolo rettangolo il cui raggio di inraggio è $1$ unità?

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Incircles and concyclicity: prove B,E,I,F concyclic in acute triangle

Let $ABC$ be an acute-angled triangle and let $I$ be its incentre. Let the incircle of triangle $ABC$ touch $BC$ in $D$. The incircle of triangle $ABD$ touches $AB$ in $E$; the incircle of triangle $ACD$ touches $AC$ in $F$. Prove that $B,E,I,F$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Incircoli e conciclicità: dimostrare B,E,I,F conciclici in triangolo acuto

Che il $ABC$ sia un triangolo acuto e che il $I$ sia il suo centro. Lascia che l’incircolo del triangolo $ABC$ tocchi $BC$ in $D$. L’incircolo del triangolo $ABD$ tocca $AB$ in $E$; il circolo del triangolo $ACD$ tocca $AC$ in $F$. Provare che $B,E,I,F$ sono conciclici.

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Place numbers 1 to 18 on segments so each vertex has sum divisible by 3

In the adjacent figure, can the numbers $1,2,3,4,\cdots ,18$ be placed, one on each line segment, such that the sum of the numbers on the three line segments meeting at each point is divisible by $3$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Colorazione, Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Posizionare i numeri da 1 a 18 sui segmenti in modo che ogni vertice abbia la somma divisibile per 3

Nella figura adiacente, è possibile posizionare i numeri $1,2,3,4,\cdots ,18$, uno su ogni segmento di linea, in modo che la somma dei numeri sui tre segmenti di linea che si incontrano a ciascun punto sia divisibile da $3$?

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