Regional Mathematical Olympiad 2014 — Region 5

Find positive integer values a and b given AP and GP conditions on roots

The roots of the equation $x^3-3a{x}^2+bx+18c=0$ form a non-constant arithmetic progression and the roots of the equation $x^3+b{x}^2+x-c^2=0$ form a non-constant geometric progression. Given that $a$, $b$, $c$ are real numbers, find all positive integral values $a$ and $b$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i valori interi positivi a e b con le condizioni AP e GP sulle radici

Le radici dell’equazione $x^3-3a{x}^2+bx+18c=0$ formano una progressione aritmetica non costante e le radici dell’equazione $x^3+b{x}^2+x-c^2=0$ formano una progressione geometrica non costante. Dato che $a$, $b$, $c$ sono numeri reali, trovare tutti i valori integrali positivi $a$ e $b$.

src_rmo_2014_r5__Q02

Angle bisectors from perpendicular bisectors in acute triangle; prove BO perp to DE

Let $ABC$ be an acute-angled triangle in which $\angle ABC$ is the largest angle. Let $O$ be its circumcentre. The perpendicular bisectors of $BC$ and $AC$ meet $AB$ and $BC$ at $X$ and $Y$ respectively. The internal bisectors of $\angle AXB$ and $\angle BYC$ meet $AC$ at $D$ and $E$ respectively. Prove that $BO$ is perpendicular to $DE$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettori angolari da bisettori perpendicolari in triangolo acuto; dimostrare BO perp a DE

Il $ABC$ è un triangolo acuto angolato in cui $\angle ABC$ è l’angolo più grande. Che il $O$ sia il suo circoncentro. I bisettori perpendicolari di $BC$ e $AC$ incontrano $AB$ e $BC$ rispettivamente a $X$ e $Y$. I bisettori interni di $\angle AXB$ e $\angle BYC$ si incontrano rispettivamente a $AC$ e $E$. Prova che $BO$ è perpendicolare a $DE$.

src_rmo_2014_r5__Q03

Count distinct paths from (0,0) to (8,8) with exactly three rightward steps

A person moves in the $x$-$y$ plane moving along points with integer co-ordinates $x$ and $y$ only. When she is at point $(x,y)$, she takes a step based on the following rules: (a) if $x+y$ is even she moves to either $(x+1,y)$ or $(x-1,y+1)$; (b) if $x+y$ is odd she moves to either $(x+1,y)$ or $(x+1,y+1)$. How many distinct paths can she take to go from $(0,0)$ to $(8,8)$ given that she took exactly three steps to the right $\{(x,y)\to (x+1,y)\}$?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare percorsi distinti da (0,0) a (8,8) con esattamente tre passi a destra

Una persona si muove nel piano $x$-$y$ che si muove lungo punti con coordinate interi $x$ e $y$ solo. Quando si trova al punto $(x,y)$, fa un passo in base alle seguenti regole: a) se $x+y$ è anche si sposta a $(x+1,y)$ o a $(x-1,y+1)$; b) se $x+y$ è pari si sposta a $(x+1,y)$ o a $(x+1,y+1)$. Quanti percorsi distinti può percorrere per passare da$(0,0)$ a$(8,8)$ dato che ha fatto esattamente tre passi a destra?

src_rmo_2014_r5__Q04