Regional Mathematical Olympiad 2015 — Mumbai

Convex quadrilateral with equal sum of squares of sides; find diagonal

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ and $DA=d$. Suppose $a^2+b^2+c^2+d^2=ab+bc+cd+da,$ and the area of $ABCD$ is 60 square units. If the length of one of the diagonals is 30 units, determine the length of the other diagonal.

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Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quadrilaterale convex con uguale somma di quadrati di lati; trovare diagonale

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convexo con $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ e $DA=d$. Supponiamo che $a^2+b^2+c^2+d^2=ab+bc+cd+da,$ e la superficie di $ABCD$ sia di 60 unità quadrate. Se la lunghezza di una diagonale è di 30 unità, determinare la lunghezza dell’altra diagonale.

Apparizioni nelle regioni: Mumbai, Regione 5.

src_rmo_2015_mumbai__Q01

Count 3-digit base-10 numbers with at least one 5 and at most one 3

Determine the number of 3-digit numbers in base 10 having at least one 5 and at most one 3.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta i numeri base-10 a 3 cifre con almeno un 5 e un massimo di 3

Determinare il numero di numeri a 3 cifre nella base 10 che hanno almeno un 5 e un 3 al massimo.

src_rmo_2015_mumbai__Q02

Non-constant polynomial with positive coefficients: prove P(-2015)=0 impossible

Let $P(x)$ be a non-constant polynomial whose coefficients are positive integers. If $P(n)$ divides $P(P(n)-2015)$ for every positive natural number $n$, prove that $P(-2015)=0$.

Topic: Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomio non costante con coefficienti positivi: dimostra P(-2015)=0 impossibile

Che $P(x)$ sia un polinomio non costante i cui coefficienti sono numeri interi positivi. Se $P(n)$ divide $P(P(n)-2015)$ per ogni numero naturale positivo $n$, provare che $P(-2015)=0$.

src_rmo_2015_mumbai__Q03

Find 3-digit numbers (abc) in base 10 where (abc), (bce), (cab) are in geometric progression

Find all three digit natural numbers of the form $(abc{)}_{10}$ such that $(abc{)}_{10}$, $(bca{)}_{10}$ and $(cab{)}_{10}$ are in geometric progression. (Here $(abc{)}_{10}$ is representation in base 10.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri a 3 cifre (abc) nella base 10, dove (abc), (bce), (cab) sono in progressione geometrica

Trova tutti i numeri naturali a tre cifre della forma $(abc{)}_{10}$ in modo tale che $(abc{)}_{10}$, $(bca{)}_{10}$ e $(cab{)}_{10}$ siano in progressione geometrica. (Qui $(abc{)}_{10}$ è la rappresentazione nella base 10.)

src_rmo_2015_mumbai__Q04

Right-angled triangle, incentres of sub-triangles and circumcircle: prove collinearity

Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle B=90^{\circ }$ and let $BD$ be the altitude from $B$ on to $AC$. Draw $DE\perp AB$ and $DF\perp BC$. Let $P$, $Q$, $R$ and $S$ be respectively the incentres of triangles $DFC$, $DBF$, $DEB$ and $DAE$. Prove that $P$, $Q$, $R$, $D$ lie on a circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolo, incentri di subtriangoli e circoncircolo: dimostrare collinearità

Che $ABC$ sia un triangolo rettangolare con $\angle B=90^{\circ }$ e che $BD$ sia l’altitudine da $B$ a $AC$. Disegnare $DE\perp AB$ e $DF\perp BC$. I segmenti $P$, $Q$, $R$ e $S$ siano rispettivamente gli incentri dei triangoli $DFC$, $DBF$, $DEB$ e $DAE$. Prove che $P$, $Q$, $R$, $D$ si trovano su un cerchio.

src_rmo_2015_mumbai__Q05

Sum over ordered triples of subsets whose union is S; find in terms of n

Let $S=\{1,2,\dots ,n\}$ and let $T$ be the set of all ordered triples of subsets of $S$, say $(A_1,A_2,A_3)$, such that $A_1\cup A_2\cup A_3=S$. Determine, in terms of $n$, ${\sum }_{(A_1,A_2,A_3)\in T}|A_1\cap A_2\cap A_3|$ where $|X|$ denotes the number of elements in the set $X$.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Induzione, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Summa dei tripli ordinati di sottoinsiemi la cui unione è S; trovare in termini di n

$S=\{1,2,\dots ,n\}$ e $T$ siano l’insieme di tutti i triples ordinati dei sottoinsiemi di $S$, ad esempio $(A_1,A_2,A_3)$, in modo tale che $A_1\cup A_2\cup A_3=S$. Determinare, in termini di $n$, ${\sum }_{(A_1,A_2,A_3)\in T}|A_1\cap A_2\cap A_3|$ dove $|X|$ indica il numero di elementi nell’insieme $X$.

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Prove inequality (1+x)(1+y)(1+z) ≤ 4+4xyz for x²+y²+z²-2xyz=1

Let $x,y,z$ be real numbers such that $x^2+y^2+z^2-2xyz=1$. Prove that $(1+x)(1+y)(1+z)\le 4+4xyz.$

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Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza (1+x)(1+y)(1+z) ≤ 4+4xyz per x2+y2+z2-2xyz=1

$x,y,z$ siano numeri reali come $x^2+y^2+z^2-2xyz=1$. Provare che $(1+x)(1+y)(1+z)\le 4+4xyz.$

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Convex quadrilateral ABCD with positive integer sides: prove some two sides equal

The length of each side of a convex quadrilateral $ABCD$ is a positive integer. If the sum of the lengths of any three sides is divisible by the length of the remaining side, then prove that some two sides of the quadrilateral have the same length.

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Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale converso con lati interi positivi: dimostrare che alcuni due lati sono uguali

La lunghezza di ciascun lato di un quadrilaterale converso $ABCD$ è un intero positivo. Se la somma delle lunghezze di qualsiasi tre lati è divisibile per la lunghezza del lato rimanente, allora dimostrare che alcuni due lati del quadrilaterale hanno la stessa lunghezza.

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src_rmo_2015_mumbai__Q08