Regional Mathematical Olympiad 2015 — Region 1

Cyclic quadrilateral, diagonals meet, circumcircles, incenter angle

In a cyclic quadrilateral $ABCD$, the diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $X$. Let the circumcircles of triangles $AXD$ and $BXC$ intersect again at $Y$. If $X$ is the incentre of triangle $ABY$, show that $\angle CAD=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterali ciclici, diagonali incontrati, circoncircoli, angolo di incentro

In un quadrilaterale ciclico $ABCD$, le diagonali $AC$ e $BD$ si intersecano a $X$. Lasciate che i circoncircoli dei triangoli $AXD$ e $BXC$ si incrociano di nuovo a $Y$. Se $X$ è il centro del triangolo $ABY$, indicare che $\angle CAD=90^{\circ }$.

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Two quadratics equal at two integers, prove difference of leading linear coefficients is even

Let $P_1(x)=x^2+a_{1}x+b_1$ and $P_2(x)=x^2+a_{2}x+b_2$ be two quadratic polynomials with integer coefficients. Suppose $a_1\ne a_2$ and there exist integers $m\ne n$ such that $P_1(m)=P_2(m)$ and $P_1(n)=P_2(n)$. Prove that $a_1-a_2$ is even.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Due quadratici uguali a due enti, dimostrare la differenza dei coefficienti lineari principali è pari

Lasciate che $P_1(x)=x^2+a_{1}x+b_1$ e $P_2(x)=x^2+a_{2}x+b_2$ siano due polinomi quadratici con coefficienti interi. Supponiamo $a_1\ne a_2$ e ci sono enti $m\ne n$ come $P_1(m)=P_2(m)$ e $P_1(n)=P_2(n)$. Provare che $a_1-a_2$ è pari.

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Find all fractions simultaneously of two given linear forms

Find all fractions which can be written simultaneously in the forms $\frac{7k-5}{5k-3}$ and $\frac{6l-1}{4l-3}$, for some integers $k$, $l$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le frazioni contemporaneamente di due forme lineari date

Trova tutte le frazioni che possono essere scritte contemporaneamente nelle forme $\frac{7k-5}{5k-3}$ e $\frac{6l-1}{4l-3}$, per alcuni integri $k$, $l$.

src_rmo_2015_r1__Q03

Count ways to choose 3 non-adjacent non-diametrically-opposite objects from 28 in a circle

Suppose 28 objects are placed along a circle at equal distances. In how many ways can 3 objects be chosen from among them so that no two of the three chosen objects are adjacent nor diametrically opposite?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi per scegliere 3 oggetti non adiacenti non diametralmente opposti tra 28 in un cerchio

Supponiamo che 28 oggetti siano posizionati lungo un cerchio a distanze uguali. In quanti modi si possono scegliere tre oggetti tra di loro in modo che nessuno dei tre oggetti scelti sia adiacente o diametralmente opposto?

src_rmo_2015_r1__Q04

Right triangle, midpoints, incircle on circumcircle of midpoint triangle, find ratio

Let $ABC$ be a triangle with $\angle B=90^{\circ }$. Let $E$ and $F$ be respectively the mid-points of $AB$ and $AC$. Suppose the incircle $I$ of triangle $ABC$ lies on the circumcircle of triangle $AEF$. Find the ratio $BC/AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangolo retto, punti di mezzo, incircolo sul circoncircolo del triangolo di mezzo punto, rapporto *

Che $ABC$ sia un triangolo con $\angle B=90^{\circ }$. I punti intermedi $E$ e $F$ siano rispettivamente i punti intermedi $AB$ e $AC$. Supponiamo che l’incircolo $I$ del triangolo $ABC$ sia situato sull’incircolo del triangolo $AEF$. Trova il rapporto $BC/AB$.

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Find all reals a in (3,4) such that a(3-2f) is an integer

Find all real numbers $a$ such that $3<a<4$ and $a(3-2f)$ is an integer, where $f=\{a\}$ denotes the fractional part of $a$. (For example $\{1.5\}=0.5$; $\{-3.4\}=0.6$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i reali a in (3,4) in modo che a(3-2f) sia un intero

Trova tutti i numeri reali $a$ in modo tale che $3<a<4$ e $a(3-2f)$ siano un numero intero, dove $f=\{a\}$ indica la parte frazionaria di $a$. (Ad esempio $\{1.5\}=0.5$; $\{-3.4\}=0.6$.)

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