Regional Mathematical Olympiad 2015 — Region 2

Reflections of B,C in angle bisector of A give same incentre

Let $ABC$ be a triangle. Let $B^{\prime }$ and $C^{\prime }$ denote respectively the reflection of $B$ and $C$ in the internal angle bisector of $\angle A$. Show that the triangles $ABC$ and $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ have the same incentre.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Riflessi di B,C nell’angolo bisector di A danno lo stesso incentro

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$ indicano rispettivamente il riflesso di $B$ e $C$ nel bisettore angolare interno di $\angle A$. Indicare che i triangoli $ABC$ e $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ hanno lo stesso incentro.

src_rmo_2015_r2__Q01

Quadratic polynomial, P(s)=t, P(t)=s; prove b-st is a root

Let $P(x)=x^2+ax+b$ be a quadratic polynomial with real coefficients. Suppose there are real numbers $s\ne t$ such that $P(s)=t$ and $P(t)=s$. Prove that $b-st$ is a root of the equation $x^2+ax-b-at=0$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomio quadratico, P(s) = t, P(t) = s; prova b-st è una radice

Che $P(x)=x^2+ax+b$ sia un polinomio quadratico con coefficienti reali. Supponiamo che ci siano numeri reali $s\ne t$ come $P(s)=t$ e $P(t)=s$. Provare che $b-st$ è una radice dell’equazione $x^2+ax-b-at=0$.

src_rmo_2015_r2__Q02

Find all integers a,b,c with a^2=bc+1, b^2=ca+1

Find all integers $a,b,c$ such that $a^2=bc+1$, $b^2=ca+1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti gli enti a,b,c con a^2=bc+1, b^2=ca+1

Trova tutti gli integri $a,b,c$ in modo tale che $a^2=bc+1$, $b^2=ca+1$.

src_rmo_2015_r2__Q03

Count ways to choose 3 of 32 objects on circle, no two adjacent or diametrically opposite

Suppose 32 objects are placed along a circle at equal distances. In how many ways can 3 objects be chosen from among them so that no two of the three chosen objects are adjacent nor diametrically opposite?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi per scegliere 3 di 32 oggetti su un cerchio, non due adiacenti o diametralmente opposti

Supponiamo che 32 oggetti siano posizionati lungo un cerchio a distanze uguali. In quanti modi si possono scegliere tre oggetti tra loro in modo che nessuno dei tre oggetti scelti sia adiacente o diametralmente opposto?

src_rmo_2015_r2__Q04

Two circles, centre of Sigma on Gamma; DE parallel AC implies AE=AB

Two circles $\Gamma$ and $\Sigma$ in the plane intersect at two distinct points $A$ and $B$, and the centre of $\Sigma$ lies on $\Gamma$. Let points $C$ and $D$ be on $\Gamma$ and $\Sigma$, respectively, such that $C$, $B$ and $D$ are collinear. Let point $E$ on $\Sigma$ be such that $DE$ is parallel to $AC$. Show that $AE=AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi, centro di Sigma su gamma; DE parallelo AC implica AE=AB

Due cerchi $\Gamma$ e $\Sigma$ nel piano si incrociano in due punti distinti $A$ e $B$, e il centro di $\Sigma$ si trova su $\Gamma$. I punti $C$ e $D$ devono essere rispettivamente $\Gamma$ e $\Sigma$ in modo tale che $C$, $B$ e $D$ siano collineari. Il punto $E$ su $\Sigma$ deve essere tale che $DE$ sia parallelo a $AC$. Mostra che $AE=AB$.

src_rmo_2015_r2__Q05

Find real a with 4<a<5 such that a(a-3{a}) is integer

Find all real numbers $a$ such that $4<a<5$ and $a(a-3\{a\})$ is an integer. (Here $\{a\}$ denotes the fractional part of $a$. For example $\{1.5\}=0.5$; $\{-3.4\}=0.6$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca una reale con 4<a<5 tale che a(a-3{a}) sia un intero

Trova tutti i numeri reali $a$ in modo tale che $4<a<5$ e $a(a-3\{a\})$ siano un intero. (Qui $\{a\}$ indica la parte frazionaria di $a$. Per esempio $\{1.5\}=0.5$; $\{-3.4\}=0.6$.)

src_rmo_2015_r2__Q06