Regional Mathematical Olympiad 2015 — Region 3

Two circles; midpoint of arc-chord lies on second circle

Two circles $\Gamma$ and $\Sigma$, with centres $O$ and $O^{\prime }$, respectively, are such that $O^{\prime }$ lies on $\Gamma$. Let $A$ be a point on $\Sigma$ and $M$ the midpoint of the segment $A{O}^{\prime }$. If $B$ is a point on $\Sigma$ different from $A$ such that $AB$ is parallel to $OM$, show that the midpoint of $AB$ lies on $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi; il punto medio della corda d’arco si trova sul secondo cerchio

Due cerchi $\Gamma$ e $\Sigma$, con centri $O$ e $O^{\prime }$, rispettivamente, sono tali che $O^{\prime }$ si trova su $\Gamma$. Il $A$ deve essere un punto sul $\Sigma$ e $M$ il punto medio del segmento $A{O}^{\prime }$. Se $B$ è un punto su $\Sigma$ diverso da $A$ in modo tale che $AB$ sia parallelo a $OM$, indicare che il punto medio di $AB$ si trova su $\Gamma$.

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Quadratic polynomial squares in AP implies a,b integers

Let $P(x)=x^2+ax+b$ be a quadratic polynomial where $a$ and $b$ are real numbers. Suppose $P(-1{)}^2$, $P(0{)}^2$, $P(1{)}^2$ is an arithmetic progression of integers. Prove that $a$ and $b$ are integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Quadrati di polinomi quadratici in AP implicano a,b interi

Che $P(x)=x^2+ax+b$ sia un polinomio quadratico dove $a$ e $b$ sono numeri reali. Supponiamo che $P(-1{)}^2$, $P(0{)}^2$, $P(1{)}^2$ sia una progressione aritmetica degli enti. Provare che $a$ e $b$ sono numeri interi.

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Infinitely many integer triples satisfying $x^2+y^2=z^{2^l}$ for all $l$

Show that there are infinitely many triples $(x,y,z)$ of integers such that $x^2+y^2=z^{2^l}$ for all $l$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Infinitamente molti tripli interi che soddisfano $x^2+y^2=z^{2^l}$ per tutti $l$

Mostrare che ci sono infinitamente molti triples $(x,y,z)$ di numeri interi come $x^2+y^2=z^{2^l}$ per tutti $l$.

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Count 3-element subsets of 36 equally-spaced circle points, no two adjacent or antipodal

Suppose 36 objects are placed along a circle at equal distances. In how many ways can 3 objects be chosen from among them so that no two of the three chosen objects are adjacent nor diametrically opposite?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare sottoinsiemi di 3 elementi di 36 punti di cerchio con spazi uguali, senza due adiacenti o antipodi

Supponiamo che 36 oggetti siano posizionati lungo un cerchio a distanze uguali. In quanti modi si possono scegliere tre oggetti tra di loro in modo che nessuno dei tre oggetti scelti sia adiacente o diametralmente opposto?

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Triangle with circumcircle and incenter; kite PIRQ implies equilateral

Let $ABC$ be a triangle with circumcircle $\Gamma$ and incentre $I$. Let the internal angle bisectors of $\angle A$, $\angle B$ and $\angle C$ meet $\Gamma$ in $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ and $C^{\prime }$ respectively. Let $B^{\prime }{C}^{\prime }$ intersect $A{A}^{\prime }$ in $P$, and $AC$ in $Q$. Let $B{B}^{\prime }$ intersect $AC$ in $R$. Suppose the quadrilateral $PIRQ$ is a kite; that is, $IP=IR$ and $QP=QR$. Prove that $ABC$ is an equilateral triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con circoncircolo e incentro; PIRQ della gabbia implica equilaterale

Il $ABC$ deve essere un triangolo con circoncircolo $\Gamma$ e incentro $I$. I bisettori di angolo interno di $\angle A$, $\angle B$ e $\angle C$ devono incontrare $\Gamma$ rispettivamente in $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$. In $P$ $A{A}^{\prime }$ e in $Q$ $AC$ si intersecano. Lasciate che $B{B}^{\prime }$ si incroci $AC$ in $R$. Supponiamo che il quadrilaterale $PIRQ$ sia un aquilone; cioè $IP=IR$ e $QP=QR$. Prova che $ABC$ è un triangolo equilaterale.

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Infinitely many non-integer positive reals with $a(a-3\{a\})$ integer

Show that there are infinitely many positive real numbers $a$ which are not integers such that $a(a-3\{a\})$ is an integer. (Here $\{a\}$ denotes the fractional part of $a$. For example $\{1.5\}=0.5$; $\{-3.4\}=0.6$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Infinitamente molti reali positivi non integrali con $a(a-3\{a\})$ intero

Mostrare che ci sono infinitamente molti numeri reali positivi $a$ che non sono interi tali che $a(a-3\{a\})$ è un intero. (Qui $\{a\}$ indica la parte frazionaria di $a$. Ad esempio $\{1.5\}=0.5$; $\{-3.4\}=0.6$.)

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