Regional Mathematical Olympiad 2015 — Region 4

Circumcentre of triangle CB’I lies on angle bisector

Let $ABC$ be a triangle. Let $B^{\prime }$ denote the reflection of $B$ in the internal angle bisector $\ell$ of $\angle A$. Show that the circumcentre of the triangle $C{B}^{\prime }I$ lies on the line $\ell$, where $I$ is the incentre of $ABC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il circolo del triangolo CB’I si trova sul bisettore angolare

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. $B^{\prime }$ indica il riflesso di $B$ nel bisettore angolare interno $\ell$ di $\angle A$. Indicare che il circoncentro del triangolo $C{B}^{\prime }I$ si trova sulla linea $\ell$, dove $I$ è l’incentro di $ABC$.

src_rmo_2015_r4__Q01

Quadratic with integer values at 0,1,2 implies integer coefficients

Let $P(x)=x^2+ax+b$ be a quadratic polynomial where $a$ is real and $b\ne 2$ is rational. Suppose $P(0{)}^2$, $P(1{)}^2$, $P(2{)}^2$ are integers. Prove that $a$ and $b$ are integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Quadratici con valori interi a 0,1,2 implicano coefficienti interi

Che $P(x)=x^2+ax+b$ sia un polinomio quadratico dove $a$ è reale e $b\ne 2$ è razionale. Supponiamo che $P(0{)}^2$, $P(1{)}^2$, $P(2{)}^2$ siano numeri interi. Provare che $a$ e $b$ sono numeri interi.

src_rmo_2015_r4__Q02

Find all integer triples with a²=bc+4 and b²=ca+4

Find all integers $a,b,c$ such that $a^2=bc+4,b^2=ca+4.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli interi con a2=bc+4 e b2=ca+4

Trova tutti gli integri $a,b,c$ in modo che $a^2=bc+4,b^2=ca+4.$

src_rmo_2015_r4__Q03

Count ways to choose 3 of 40 objects on circle, no two adjacent or diametrically opposite

Suppose 40 objects are placed along a circle at equal distances. In how many ways can 3 objects be chosen from among them so that no two of the three chosen objects are adjacent nor diametrically opposite?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi per scegliere 3 di 40 oggetti su un cerchio, non due adiacenti o diametralmente opposti

Supponiamo che 40 oggetti siano posizionati lungo un cerchio a distanze uguali. In quanti modi si possono scegliere tre oggetti tra di loro in modo che nessuno dei tre oggetti scelti sia adiacente o diametralmente opposto?

src_rmo_2015_r4__Q04

CA=CD implies centre of Sigma lies on Gamma

Two circles $\Gamma$ and $\Sigma$ intersect at two distinct points $A$ and $B$. A line through $B$ intersects $\Gamma$ again at $C$ and $\Sigma$ again at $D$, respectively. Suppose that $CA=CD$. Show that the centre of $\Sigma$ lies on $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

CA=CD implica che il centro di Sigma si trova su Gamma

Due cerchi $\Gamma$ e $\Sigma$ si intersecano in due punti distinti $A$ e $B$. Una linea attraverso $B$ incrocia $\Gamma$ di nuovo a $C$ e $\Sigma$ di nuovo a $D$, rispettivamente. Supponiamo che $CA=CD$. Indicare che il centro di $\Sigma$ si trova su $\Gamma$.

src_rmo_2015_r4__Q05

Count integers m in [1,5000] with floor(sqrt(m))=floor(sqrt(m+125))

How many integers $m$ satisfy both the following properties: (i) $1\le m\le 5000$; (ii) $[\sqrt{m}]=[\sqrt{m+125}]$?

(Here $[x]$ denotes the largest integer not exceeding $x$, for any real number $x$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Contare i numeri integri m in [1,5000] con pavimento(sqrt(m))=pavimento(sqrt(m+125)) *

Quanti integri $m$ soddisfano entrambe le seguenti proprietà: i) $1\le m\le 5000$; ii) $[\sqrt{m}]=[\sqrt{m+125}]$?

(Qui $[x]$ indica il più grande numero intero non superiore a $x$, per qualsiasi numero reale $x$.)

src_rmo_2015_r4__Q06