Regional Mathematical Olympiad 2015 — Region 5

Count 3-digit base-10 numbers with at least one 5 and at most one 2

Determine the number of 3-digit numbers in base 10 having at least one 5 and at most one 2.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i numeri base-10 a 3 cifre con almeno un 5 e un 2 al massimo

Determinare il numero di numeri a 3 cifre nella base 10 che hanno almeno un 5 e un 2 al massimo.

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Non-constant polynomial with positive integer coefficients, prove P(2015)=0 impossible

Let $P(x)$ be a non-constant polynomial whose coefficients are positive integers. If $P(n)$ divides $P(P(n))-2015$ for every natural number $n$, prove that $P(-2015)=0$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Polinomio non costante con coefficienti interi positivi, dimostra P(2015) = 0 impossibile

Che $P(x)$ sia un polinomio non costante i cui coefficienti sono numeri interi positivi. Se $P(n)$ divide $P(P(n))-2015$ per ogni numero naturale $n$, provare che $P(-2015)=0$.

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Find all three-digit numbers (abc)_10 with (abc)_10 = (abc)_b * (acb)_b

Find all three-digit natural numbers of the form $(abc{)}_{10}$ such that $(abc{)}_{10}=(abc{)}_b\cdot (acb{)}_b$. (Here $(abc{)}_{10}$ is the number in base 10.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri a tre cifre (abc)_10 con (abc)_10 = (abc)_b * (acb)_b

Trovare tutti i numeri naturali a tre cifre della forma $(abc{)}_{10}$ in modo tale che $(abc{)}_{10}=(abc{)}_b\cdot (acb{)}_b$. (Qui $(abc{)}_{10}$ è il numero nella base 10.)

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Right-angled triangle, incentres of sub-triangles from altitude collinear

Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle B=90^{\circ }$ and let $BD$ be the altitude from $B$ on to $AC$. Let $P$, $Q$, $R$ and $S$ be respectively the incentres of triangles $DFC$, $DBF$, $DEB$ and $DAE$. Suppose $P$, $Q$, $R$, $S$, $D$ be collinear. Prove that $P$, $Q$, $R$, $D$ lie on a circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolo, incentri di subtriangoli da altitudine collineare

Che $ABC$ sia un triangolo rettangolare con $\angle B=90^{\circ }$ e che $BD$ sia l’altitudine da $B$ a $AC$. I segmenti $P$, $Q$, $R$ e $S$ siano rispettivamente gli incentri dei triangoli $DFC$, $DBF$, $DEB$ e $DAE$. Supponiamo che $P$, $Q$, $R$, $S$, $D$ siano collineari. Provare che $P$, $Q$, $R$, $D$ si trovano su un cerchio.

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Sum over ordered triples of subsets, express in terms of n

Let $S=\{1,2,\dots ,n\}$ and let $T$ be the set of all ordered triples of subsets of $S$, say $(A_1,A_2,A_3)$, such that $A_1\cup A_2\cup A_3=S$. Determine, in terms of $n$, ${\sum }_{(A_1,A_2,A_3)\in T}|A_1\cap A_2\cap A_3|,$ where $|X|$ denotes the number of elements in the set $X$. (For example, if $S=\{1,2,3\}$ then one of the elements of $T$ is $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{2,3\}$, $A_3=\{3\}$.)

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Doppio conteggio, Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa su triples ordinati di sottoinsiemi, espressa in termini di n

$S=\{1,2,\dots ,n\}$ e $T$ siano l’insieme di tutti i triples ordinati dei sottogruppi di $S$, ad esempio $(A_1,A_2,A_3)$, in modo tale che $A_1\cup A_2\cup A_3=S$. Determinare, in termini di $n$, ${\sum }_{(A_1,A_2,A_3)\in T}|A_1\cap A_2\cap A_3|,$ dove $|X|$ indica il numero di elementi nell’insieme $X$. (Ad esempio, se $S=\{1,2,3\}$ uno degli elementi di $T$ è $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{2,3\}$, $A_3=\{3\}$.)

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