Regional Mathematical Olympiad 2016 — Region 1

Right-angled triangle, incenter, perpendicular foot, prove distance formula

Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle B=90^{\circ }$. Let $I$ be the incenter of $ABC$. Draw a line perpendicular to $AI$ at $I$. Let it intersect the line $CB$ at $D$. Prove that $ID=\sqrt{b(b-a)}$ where $BC=a$ and $CA=b$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolare, incentro, piede perpendicolare, formula di prova di distanza

$ABC$ sia un triangolo rettangolare con $\angle B=90^{\circ }$. Il $I$ deve essere il centro di $ABC$. Tracciare una linea perpendicolare a $AI$ a $I$. Lascia che intersechi la linea $CB$ a $D$. Prove che $ID=\sqrt{b(b-a)}$ dove $BC=a$ e $CA=b$.

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Prove inequality involving positive reals summing to 1

Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=1.$ Prove that $abc\le \frac{1}{8}$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove le disuguaglianze che coinvolgono valori reali positivi sommando a 1

$a,b,c$ siano numeri reali positivi in modo tale che $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=1.$ dimostri che $abc\le \frac{1}{8}$.

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Natural numbers n with n = 2S(n)^2, digits in base 10

For any natural number $n$, expressed in base 10, let $S(n)$ denote the sum of all digits of $n$. Find all natural numbers $n$ such that $n=2S(n{)}^2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numeri naturali n con n = 2S(n) ^2, cifre nella base 10

Per qualsiasi numero naturale $n$ espresso nella base 10, $S(n)$ indichi la somma di tutti i numeri di $n$. Trova tutti i numeri naturali $n$ in modo tale che $n=2S(n{)}^2$.

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Count 6-digit numbers with exactly three odd and three even digits

Find the number of all 6-digit natural numbers having exactly three odd digits and three even digits.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri a 6 cifre con esattamente tre numeri unici e tre cifre pari

Trova il numero di tutti i numeri naturali a 6 cifre che hanno esattamente tre cifre odd e tre cifre pari.

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Triangle centroid, circumcircles intersect lines, prove G is centroid of AXY

Let $ABC$ be a triangle with centroid $G$. Let the circumcircle of triangle $AGB$ intersect the line $BC$ in $X$ different from $B$, and the circumcircle of triangle $AGC$ intersect the line $BC$ in $Y$ different from $C$. Prove that $G$ is the centroid of triangle $AXY$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Centroide triangolare, circoncircoli che intersecano le linee, dimostrare che G è centroide di AXY

Che $ABC$ sia un triangolo con centroid $G$. Il circoncircolo del triangolo $AGB$ interseca la linea $BC$ in $X$ diversa da $B$, e il circoncircolo del triangolo $AGC$ interseca la linea $BC$ in $Y$ diversa da $C$. Prova che $G$ è il centroide del triangolo $AXY$.

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Arithmetic progression with infinite geometric subsequence

Let $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ be a strictly increasing sequence of positive integers in an arithmetic progression. Prove that there is an infinite subsequence of the given sequence whose terms are in a geometric progression.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Progressione aritmetica con sottossequenza geometrica infinita

Che $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ sia una sequenza di numeri interi positivi in rigorosa crescita in una progressione aritmetica. Prove che c’è una sottossequenza infinita della sequenza data i cui termini sono in una progressione geometrica.

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