Regional Mathematical Olympiad 2016 — Region 2

Incenter perpendicular line meets AC at E; prove IE=IF

Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle B=90^{\circ }$. Let $I$ be the incentre of $ABC$. Let $AI$ extended intersect $BC$ at $F$. Draw a line perpendicular to $AI$ at $I$. Let it intersect $AC$ at $E$. Prove that $IE=IF$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Linea perpendicolare al centro incontra la corrente corrente a E; prova IE=IF

$ABC$ sia un triangolo rettangolare con $\angle B=90^{\circ }$. Il $I$ deve essere il centro di $ABC$. Lasciate che $AI$ si intersechi con $BC$ all’interno di $F$. Disegnare una linea perpendicolare a $AI$ a $I$. Lasciate che $AC$ si intersechi a $E$. Prova che $IE=IF$.

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Prove abc ≤ 1/8 given cyclic sum equals 1 with positive reals

Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a}=1.$ Prove that $abc\le \frac{1}{8}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Prove abc ≤ 1/8 data somma ciclica uguale a 1 con risultati positivi *

$a,b,c$ siano numeri reali positivi in modo tale che $\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a}=1.$ dimostri che $abc\le \frac{1}{8}$.

src_rmo_2016_r2__Q02

Find all n with n^3 = 8S(n)^3 + 4S(n) + 1

For any natural number $n$, expressed in base 10, let $S(n)$ denote the sum of all digits of $n$. Find all natural numbers $n$ such that $n^3=8S(n{)}^3+4S(n)+1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutte le n con n^3 = 8S(n) ^3 + 4S(n) + 1

Per qualsiasi numero naturale $n$, espresso nella base 10, $S(n)$ indichi la somma di tutti i numeri di $n$. Trova tutti i numeri naturali $n$ in modo tale che $n^3=8S(n{)}^3+4S(n)+1$.

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Count 6-digit numbers with digits 1,2,3 where 3 appears exactly twice and divisible by 9

How many 6-digit natural numbers containing only the digits $1,2,3$ are there in which $3$ occurs exactly twice and the number is divisible by $9$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta i numeri a 6 cifre con cifre 1,2,3 dove 3 appare esattamente due volte e divisibile per 9

Quanti numeri naturali a 6 cifre contenenti solo le cifre $1,2,3$ in cui $3$ si verifica esattamente due volte e il numero è divisibile da $9$?

src_rmo_2016_r2__Q04

Circumcircles of ACD and ABD intersect sides; reflection K; prove FK=BC

Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle B=90^{\circ }$. Let $AD$ be the bisector of $\angle A$ with $D$ on $BC$. Let the circumcircle of triangle $ACD$ intersect $AB$ again in $E$, and let the circumcircle of triangle $ABD$ intersect $AC$ again in $F$. Let $K$ be the reflection of $E$ in the line $BC$. Prove that $FK=BC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli di ACD e ABD si intersecano lateralmente; riflessione K; prova FK=BC

$ABC$ sia un triangolo rettangolare con $\angle B=90^{\circ }$. Il $AD$ deve essere il bisettore di $\angle A$ con $D$ su $BC$. Lasciate che il circoncircolo del triangolo $ACD$ si intersechi di nuovo $AB$ in $E$, e che il circoncircolo del triangolo $ABD$ si intersechi di nuovo $AC$ in $F$. Il $K$ deve essere il riflesso di $E$ nella riga $BC$. Prove che $FK=BC$.

src_rmo_2016_r2__Q05

AP {1,4,7,…} has infinitely many 3-term HP subsequences with ratio condition

Show that the infinite arithmetic progression $\{1,4,7,10,\dots \}$ has infinitely many 3-term subsequences in harmonic progression such that for any two such triples $(a_1,a_2,a_3)$ and $(b_1,b_2,b_3)$ in harmonic progression, one has $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

AP {1,4,7,…} ha infinite subsequenze HP a 3 termini con condizione di rapporto

Mostrare che la progressione aritmetica infinita $\{1,4,7,10,\dots \}$ ha infinite successioni a 3 termini nella progressione armonica in modo tale che per due triples $(a_1,a_2,a_3)$ e $(b_1,b_2,b_3)$ in progressione armonica, uno ha $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}.$

src_rmo_2016_r2__Q06