Regional Mathematical Olympiad 2016 — Region 3

Angle bisector tangent to circumcircle, prove angle A=90

Let $ABC$ be a triangle and $D$ be the mid-point of $BC$. Suppose the angle bisector of $\angle ADC$ is tangent to the circumcircle of triangle $ABD$ at $D$. Prove that $\angle A=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo bisettore tangente a circolo, prova angolo A=90

Che $ABC$ sia un triangolo e $D$ il punto medio di $BC$. Supponiamo che il bisettore angolare di $\angle ADC$ sia tangente al circoncircolo del triangolo $ABD$ a $D$. Prove che $\angle A=90^{\circ }$.

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Prove inequality with three distinct positive reals abc

Let $a,b,c$ be three distinct positive real numbers such that $abc=1$. Prove that $\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}\ge 3.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rimostra la disuguaglianza con tre differenti valori positivi abc

$a,b,c$ siano tre numeri reali positivi distinti, come $abc=1$. Provare che $\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}\ge 3.$

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Positive integers satisfy ratio conditions, prove d >= b + f

Let $a,b,c,d,e,f$ be positive integers such that $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}<\frac{e}{f}.$ Suppose $af-be=-1$. Show that $d\ge b+f$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*I numeri interi positivi soddisfano le condizioni del rapporto, dimostrano d >= b + f *

$a,b,c,d,e,f$ siano integri positivi in modo tale che $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}<\frac{e}{f}.$ Supponiamo $af-be=-1$. Mostra che $d\ge b+f$.

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100 countries, minimum languages so every 20 share one

There are 100 countries participating in an olympiad. Suppose $n$ is a positive integer such that each of the 100 countries is willing to communicate in exactly $n$ languages. If any set of 20 countries can communicate in at least one common language, and no language is common to all 100 countries, what is the minimum possible value of $n$?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*100 paesi, lingue minime in modo che ogni 20 condividano una *

Ci sono 100 paesi che partecipano ad una Olimpiada. Supponiamo che $n$ sia un numero intero positivo tale che ciascuno dei 100 paesi sia disposto a comunicare in esattamente $n$ lingue. Se un insieme di 20 paesi può comunicare in almeno una lingua comune e nessuna lingua è comune a tutti i 100 paesi, qual è il valore minimo possibile di $n$?

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Right-angled triangle, incentre construction, prove BA=BC

Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle B=90^{\circ }$. Let $I$ be the incentre of $ABC$. Extend $AI$ and $CI$; let them intersect $BC$ in $D$ and $AB$ in $E$ respectively. Draw a line perpendicular to $AI$ at $I$ to meet $AC$ in $J$; draw a line perpendicular to $CI$ at $I$ to meet $AC$ in $K$. Suppose $DJ=EK$. Prove that $BA=BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolare, struttura incentrata, prova BA=BC

$ABC$ sia un triangolo rettangolare con $\angle B=90^{\circ }$. Il $I$ deve essere il centro di $ABC$. Estendere $AI$ e $CI$; lasciare che si incrociano rispettivamente $BC$ in $D$ e $AB$ in $E$. Tracciare una linea perpendicolare a $AI$ a $I$ per raggiungere $AC$ in $J$; tracciare una linea perpendicolare a $CI$ a $I$ per raggiungere $AC$ in $K$. Supponiamo $DJ=EK$. Provare che $BA=BC$.

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Strictly increasing harmonic progression existence and non-existence

(a) Given any natural number $N$, prove that there exists a strictly increasing sequence of $N$ positive integers in harmonic progression. (b) Prove that there cannot exist a strictly increasing infinite sequence of positive integers which is in harmonic progression.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

L’esistenza e la non esistenza di progressione armonica in aumento stretto

(a) Dato qualsiasi numero naturale $N$, dimostrare che esiste una sequenza rigorosamente crescente di integri positivi $N$ in progressione armonica. b) dimostrare che non può esistere una sequenza infinita di numeri interi positivi in progressione armonica.

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