Isosceles triangle, circumcircle, line through D parallel to AC, AE:EB=2:1
Let be an isosceles triangle with . Let be its circumcircle and let be the centre of . Let meet in . Draw a line parallel to through . Let it intersect at . . Prove that is an equilateral triangle.
Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Triangolo isosceles, circoncircolo, linea attraverso D parallela ad AC, AE:EB=2:1
Che sia un triangolo di uguali dimensioni con . La circoscrizione di sia la sua circonferenza e la circoscrizione di sia il centro di . In si deve incontrare . Tracciare una linea parallela a attraverso . Lasciate che si intersechi a . . Prova che è un triangolo equilaterale.
Prove inequality for positive reals satisfying a cyclic sum condition
Let be positive real numbers such that Prove that
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Prove l’ineguaglianza per i reali positivi che soddisfano una condizione di somma ciclica
Che siano numeri reali positivi tali che dimostri che
Ages of two brothers and father as integers satisfying fraction conditions
The present ages in years of two brothers and , and their father are three distinct positive integers , , and respectively. Suppose and are two consecutive integers and and are two consecutive integers. If determine , , .
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
L’età di due fratelli e di un padre come numeri interi che soddisfano le condizioni di frazione
Le età attuali in anni di due fratelli e , e il loro padre sono rispettivamente tre numeri interi positivi distinti , e . Supponiamo che e siano due numeri interi consecutivi e e sono due numeri interi consecutivi. Se determina , , .
Box of 4032 scripts, odd/even score selection process, find remaining odd-score count
A box contains 4032 answer scripts out of which exactly half have an odd number of marks. We choose 2 scripts randomly and, if the scores on both of them are odd, we put one script back in the box and keep the other script outside. If both scripts have even scores, we put back one of them and keep the other script outside. If there is one script with even score and the other with odd score, we put back the script with the odd score and keep the other script outside. After following this procedure a number of times, there are 3 scripts left among which there is at least one script each with odd and even scores. Find, with proof, the number of scripts with odd scores among the three left.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Quadro di scritture 4032, processo di selezione di punteggi odd/even, trovare il restante numero di punteggi odd
Una scatola contiene 4032 scritture di risposta, di cui esattamente la metà ha un numero imparato di segni. Scegliamo due script a caso e, se i punteggi su entrambi sono strani, rimettiamo una scrittura nella scatola e teniamo l’altra scrittura fuori. Se entrambe le sceneggiature hanno punteggi pari, rimettiamo una di loro e teniamo l’altra sceneggiatura fuori. Se c’è una sceneggiatura con punteggio pari e l’altra con punteggio impar, rimettiamo la sceneggiatura con punteggio impar e teniamo l’altra sceneggiatura fuori. Dopo aver seguito questa procedura un certo numero di volte, sono rimaste 3 scritture tra le quali c’è almeno una scrittura ciascuno con punteggi odd e even. Trova, con la prova, il numero di scritture con punteggi odd tra i tre a sinistra.
Triangle with altitude and median; incentre of sub-triangle lies on median
Let be a triangle, an altitude and a median. Assume , , , lie in that order on the line . Suppose the incentre of lies on . Find, with proof, the angles of .
Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Triangolo con altitudine e media; il centro del subtriangolo si trova sulla media
Che sia un triangolo, un’altitudine e una media. Supponiamo che , , , si trovino in tale ordine sulla linea . Supponiamo che l’incentro di si trovi su . Trovare, con prova, gli angoli di .
AP of positive integers: cubes appear infinitely or not at all
(i) Prove that if an infinite sequence of strictly increasing positive integers in arithmetic progression has one cube then it has infinitely many cubes.
(ii) Find, with justification, an infinite sequence of strictly increasing positive integers in arithmetic progression which does not have any cube.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
AP di numeri interi positivi: i cubi appaiono infinitamente o non appaiono affatto
(i) Dimostra che se una sequenza infinita di numeri interi positivi che aumentano strettamente nella progressione aritmetica ha un cubo allora ha infinitamente molti cubi.
(ii) Trovare, con giustificazione, una sequenza infinita di numeri interi positivi rigorosamente in aumento nella progressione aritmetica che non ha alcun cubo.