Regional Mathematical Olympiad 2017

Construct line segment CD using compass/ruler given angle and ratio

Let $AOB$ be a given angle less than $180^{\circ }$ and let $P$ be an interior point of the angular region determined by $\angle AOB$. Show, with proof, how to construct, using only ruler and compasses, a line segment $CD$ passing through $P$ such that $C$ lies on the ray $OA$ and $D$ lies on the ray $OB$, and $CP:PD=1:2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Construire un CD di segmento di linea utilizzando una bussola/regola con angolo e rapporto dati

Il punto $AOB$ deve essere un angolo determinato inferiore a $180^{\circ }$ e il punto $P$ deve essere un punto interno della regione angolare determinata da $\angle AOB$. Mostra, con la prova, come costruire, utilizzando solo la regola e le buste, un segmento di linea $CD$ che passa attraverso $P$ in modo tale che $C$ si trova sul raggio $OA$ e $D$ si trova sul raggio $OB$, e $CP:PD=1:2$.

src_rmo_2017__Q01

Show the polynomial sum has no integer solutions in a, b

Show that $a^2+(a+1{)}^2+(a+2{)}^2+(a+3{)}^2+(a+4{)}^2+(a+5{)}^2+(a+6{)}^2=b^2+(b+1{)}^2$ has no solutions in integers $a$, $b$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra che la somma polinomica non ha soluzioni integrali in a, b

Mostrare che $a^2+(a+1{)}^2+(a+2{)}^2+(a+3{)}^2+(a+4{)}^2+(a+5{)}^2+(a+6{)}^2=b^2+(b+1{)}^2$ non ha soluzioni nei numeri interi $a$, $b$.

src_rmo_2017__Q02

Find all real roots of composition P(Q(x)) = 0

Let $P(x)=x^2+\frac{1}{2}x+b$ and $Q(x)=x^2+cx+d$ be two polynomials with real coefficients such that $P(x)Q(x)=Q(P(x))$ for all real $x$. Find all the real roots of $P(Q(x))=0$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le radici reali della composizione P(Q(x)) = 0

Che $P(x)=x^2+\frac{1}{2}x+b$ e $Q(x)=x^2+cx+d$ siano due polinomi con coefficienti reali tali che $P(x)Q(x)=Q(P(x))$ per tutti i $x$ reali. Trova tutte le radici reali di $P(Q(x))=0$.

src_rmo_2017__Q03

Minimum colours to colour n^2 unit squares with distinct-centre condition

Consider $n^2$ unit squares in the $xy$-plane centred at point $(i,j)$ with integer coordinates, $1\le i\le n$, $1\le j\le n$. It is required to colour each unit square using one of $k$ colours so that any two squares with centres at distance equal to $\sqrt{5}$ from each other have distinct colours. What is the least possible $k$?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Grafi, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di colori per colori n^2 quadrati unitari con condizione di centro distinta

Considerare i quadrati di unità $n^2$ nel piano $xy$ centrato al punto $(i,j)$ con coordinate interi, $1\le i\le n$, $1\le j\le n$. È necessario colorare ogni quadrato unitario utilizzando uno dei colori $k$ in modo che due quadrati con centri a distanza pari a $\sqrt{5}$ l’uno dall’altro abbiano colori distinti. Qual è il minimo $k$ possibile?

src_rmo_2017__Q04

Circle tangent to AB, internally to two circles; prove XY is a diameter

Let $\Omega$ be a circle with a chord $AB$ which is not a diameter. Let ${\Gamma }_1$ be a circle on one side of $AB$ such that it is tangent to $AB$ at $C$ and internally tangent to $\Omega$ at $D$. Similarly, let ${\Gamma }_2$ be a circle on the other side of $AB$ such that it is tangent to $AB$ at $E$ and internally tangent to $\Omega$ at $F$. Suppose the line $DC$ intersects $\Omega$ at a point $X\ne D$ and the line $FE$ intersects $\Omega$ at a point $Y\ne F$. Prove that $XY$ is a diameter of $\Omega$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo tangente a AB, internamente a due cerchi; prova che XY è un diametro

Si deve $\Omega$ essere un cerchio con un accordo $AB$ che non è diametro. Il ${\Gamma }_1$ deve essere un cerchio su un lato di $AB$ tale da essere tangente a $AB$ a $C$ e tangente internamente a $\Omega$ a $D$. Allo stesso modo, ${\Gamma }_2$ sia un cerchio dall’altro lato di $AB$ tale da essere tangente a $AB$ a $E$ e internamente tangente a $\Omega$ a $F$. Supponiamo che la linea $DC$ si incroci $\Omega$ in un punto $X\ne D$ e la linea $FE$ si incroci $\Omega$ in un punto $Y\ne F$. Provare che $XY$ ha un diametro di $\Omega$.

src_rmo_2017__Q05

Prove cyclic inequality for reals greater than 1

Let $x,y,z$ be real numbers, each greater than $1$. Prove that $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\le \frac{x-1}{y-1}+\frac{y-1}{z-1}+\frac{z-1}{x-1}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rimprovare le disuguaglianze cicliche per reali superiori a 1

$x,y,z$ siano numeri reali, ognuno più grande di $1$. Provare che $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\le \frac{x-1}{y-1}+\frac{y-1}{z-1}+\frac{z-1}{x-1}.$

src_rmo_2017__Q06