Regional Mathematical Olympiad 2019

Prove x is rational given x^5 and 20x+19/x are rational.

Suppose $x$ is a nonzero real number such that both $x^5$ and $20x+\frac{19}{x}$ are rational numbers. Prove that $x$ is a rational number.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove x è razionale dato x^5 e 20x+19/x sono razionali.

Supponiamo che $x$ sia un numero reale non zero tale che sia $x^5$ che $20x+\frac{19}{x}$ siano numeri razionali. Prova che $x$ è un numero razionale.

src_rmo_2019__Q01

Centroid lines meet circumcircle; equal angle conditions force equilateral triangles.

Let $ABC$ be a triangle with circumcircle $\Omega$ and let $G$ be the centroid of triangle $ABC$. Extend $AG$, $BG$ and $CG$ to meet the circle $\Omega$ again in $A_1$, $B_1$ and $C_1$, respectively. Suppose $\angle BAC=\angle A_1{B}_1{C}_1$, $\angle ABC=\angle A_1{C}_1{B}_1$ and $\angle ACB=\angle B_1{A}_1{C}_1$. Prove that $ABC$ and $A_1{B}_1{C}_1$ are equilateral triangles.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le linee del centroide incontrano il circoncircolo; condizioni di angolo uguale forzano i triangoli equilaterali.

Let $ABC$ essere un triangolo con circoncircolo $\Omega$ e let $G$ essere il centroide del triangolo $ABC$. Estendere $AG$, $BG$ e $CG$ per raggiungere di nuovo il cerchio $\Omega$ rispettivamente in $A_1$, $B_1$ e $C_1$. Supponiamo $\angle BAC=\angle A_1{B}_1{C}_1$, $\angle ABC=\angle A_1{C}_1{B}_1$ e $\angle ACB=\angle B_1{A}_1{C}_1$. Prove che $ABC$ e $A_1{B}_1{C}_1$ sono triangoli equilaterali.

src_rmo_2019__Q02

Prove an inequality for positive reals with a+b+c=1.

Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$. Prove that $\frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{b^2+c^3+a^3}+\frac{c}{c^2+a^3+b^3}\le \frac{1}{5abc}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rimostra una disuguaglianza per i reali positivi con a+b+c=1.

$a,b,c$ siano numeri reali positivi come $a+b+c=1$. Provare che $\frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{b^2+c^3+a^3}+\frac{c}{c^2+a^3+b^3}\le \frac{1}{5abc}.$

src_rmo_2019__Q03

Extend a 3xk array using 1..3k so row sums and row sums of squares are all equal.

Consider the following $3\times 2$ array formed by using the numbers $1,2,3,4,5,6$: $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 2& 5\\ 3& 4\end{array}\right).$ Observe that all row sums are equal, but the sum of the squares is not the same for each row. Extend the above array to a $3\times k$ array $(a_{ij}{)}_{3\times k}$ for a suitable $k$, adding more columns, using the numbers $7,8,9,\dots ,3k$ such that ${\sum }_{j=1}^k{a}_{1j}={\sum }_{j=1}^k{a}_{2j}={\sum }_{j=1}^k{a}_{3j}\text{and}{\sum }_{j=1}^k(a_{1j}{)}^2={\sum }_{j=1}^k(a_{2j}{)}^2={\sum }_{j=1}^k(a_{3j}{)}^2.$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Estendere un array 3xk utilizzando 1..3k così le somme di fila e le somme di fila di quadrati sono tutte uguali.

Considera la seguente matrice $3\times 2$ formata utilizzando i numeri $1,2,3,4,5,6$: $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 2& 5\\ 3& 4\end{array}\right).$ Si noti che tutte le somme delle righe sono uguali, ma la somma dei quadrati non è la stessa per ogni riga. Estendere l’archivio di cui sopra ad un’archivio $3\times k$ $(a_{ij}{)}_{3\times k}$ per un appropriato $k$, aggiungendo altre colonne, utilizzando i numeri $7,8,9,\dots ,3k$ in modo tale che ${\sum }_{j=1}^k{a}_{1j}={\sum }_{j=1}^k{a}_{2j}={\sum }_{j=1}^k{a}_{3j}\text{and}{\sum }_{j=1}^k(a_{1j}{)}^2={\sum }_{j=1}^k(a_{2j}{)}^2={\sum }_{j=1}^k(a_{3j}{)}^2.$

src_rmo_2019__Q04

Show segment joining midpoints of EF, related feet on DF gives XM perpendicular to MY.

In an acute angled triangle $ABC$, let $H$ be the orthocenter, and let $D$, $E$, $F$ be the feet of altitudes from $A$, $B$, $C$ to the opposite sides, respectively. Let $L$, $M$, $N$ be midpoints of segments $AH$, $EF$, $BC$, respectively. Let $X$, $Y$ be feet of altitudes from $L$, $N$ on to the line $DF$. Prove that $XM$ is perpendicular to $MY$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il segmento di visualizzazione che unisce i punti medi di EF, i piedi correlati sul DF dà XM perpendicolare a MY.

In un triangolo angolato acuto $ABC$, $H$ deve essere il centro ortografico, e $D$, $E$, $F$ devono essere i piedi delle altitudini da $A$, $B$, $C$ ai lati opposti, rispettivamente. I segmenti $L$, $M$, $N$ siano rispettivamente i punti di mezzo $AH$, $EF$ e $BC$. Le altitudini $X$, $Y$ devono essere piedi di altitudine da $L$, $N$ alla linea $DF$. Prove che $XM$ è perpendicolare a $MY$.

src_rmo_2019__Q05

Among 91 distinct integers >1 with >=456 coprime pairs, find four with cyclic pairwise gcd 1.

Suppose $91$ distinct positive integers greater than $1$ are given such that there are at least $456$ pairs among them which are relatively prime. Show that one can find four integers $a,b,c,d$ among them such that $\gcd (a,b)=\gcd (b,c)=\gcd (c,d)=\gcd (d,a)=1$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tra 91 numeri interi distinti >1 con >=456 copriemi copriemi, trovate quattro con gcd ciclico in coppia 1.

Supponiamo che $91$ siano dati integri positivi distinti superiori a $1$ in modo tale che ci siano almeno $456$ coppie tra di esse che sono relativamente prime. Mostrare che si possono trovare quattro numeri interi $a,b,c,d$ tra di loro tali che $\gcd (a,b)=\gcd (b,c)=\gcd (c,d)=\gcd (d,a)=1$.

src_rmo_2019__Q06