Regional Mathematical Olympiad 2023 — KV/JNV

Triangle ABC with angle ACB=120°, bisector meets sides, prove KLN equilateral

Given a triangle $ABC$ with $\angle ACB=120^{\circ }$. The point $L$ is marked on the side $\overline{AB}$ so that $CL$ is the bisector of $\angle ACB$. The points $N$ and $K$ are marked on the sides $AC$ and $BC$, respectively, so that $CN+CK=CL$. Prove that the triangle $KLN$ is equilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con angolo ACB=120°, bisettore incontra lati, prova KLN equilaterale

Date un triangolo $ABC$ con $\angle ACB=120^{\circ }$. Il punto $L$ è segnato sul lato $\overline{AB}$ in modo che $CL$ sia il bisector di $\angle ACB$. I punti $N$ e $K$ sono segnati rispettivamente sui lati $AC$ e $BC$, in modo che $CN+CK=CL$. Prove che il triangolo $KLN$ è equilaterale.

src_rmo_2023_kvjnv__Q01

Prime p with 2p equal to sum of squares of four consecutive positives, prove p-7 divisible by 36

Given a prime number $p$ such that the number $2p$ is equal to the sum of the squares of some four consecutive positive integers. Prove that $p-7$ is divisible by $36$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Primo p con 2p uguale alla somma dei quadrati di quattro positivi consecutivi, dimostra p-7 divisorio per 36

Dato un numero primo $p$ tale che il numero $2p$ sia uguale alla somma dei quadrati di circa quattro numeri interi positivi consecutivi. Prova che $p-7$ è divisibile per $36$.

src_rmo_2023_kvjnv__Q02

Polynomial with real coefficients degree 2, pairwise distinct reals a,b,c with f(a)=bc; find f(a+b+c)

Let $f(x)$ be a polynomial with real coefficients of degree 2. Suppose that for some pairwise distinct real numbers $a,b,c$ we have $f(a)=bc;f(b)=ca;f(c)=ab.$ Determine $f(a+b+c)$ in terms of $a,b,c$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Polinomio con coefficienti reali di grado 2, a,b,c separati in coppia con f(a) = bc; trovare f(a+b+c) *

$f(x)$ sia un polinomio con coefficienti reali di grado 2. Supponiamo che per alcuni numeri reali separati in coppia $a,b,c$ abbiamo $f(a)=bc;f(b)=ca;f(c)=ab.$ Determina $f(a+b+c)$ in termini di $a,b,c$.

src_rmo_2023_kvjnv__Q03

Set X of N four-digit numbers from digits 1-8, any two digits share a number in X, find smallest N

The set $X$ of $N$ four-digit numbers formed from the digits $1,2,3,4,5,6,7,8$ satisfies the following condition:

\textit{for any two different digits from $1,2,3,4,5,6,7,8$ there exists a number in $X$ which contains both of them.}

Determine the smallest possible value of $N$.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Set X di N numeri a quattro cifre dai numeri 1-8, qualsiasi due cifre condividano un numero in X, trovare il numero più piccolo N

L’insieme $X$ di numeri a quattro cifre $N$ costituiti dai numeri $1,2,3,4,5,6,7,8$ soddisfa la seguente condizione:

\textit{per due cifre diverse da $1,2,3,4,5,6,7,8$ esiste un numero in $X$ che li contiene entrambi.}

Determinare il minimo valore possibile di $N$.

src_rmo_2023_kvjnv__Q04

Triangle sides a,b,c with T_n expression, given ratio condition find all perimeters

The side-lengths $a$, $b$, $c$ of a triangle $ABC$ are positive integers. Let $T_n=(a+b+c{)}^{2n}-(a-b+c{)}^{2n}-(a+b-c{)}^{2n}+(a-b-c{)}^{2n}$ for any positive integer $n$. If $\frac{T_2}{2T_1}=2023$ and $a>b>c$, determine all possible perimeters of the triangle $ABC$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Telescoping, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

I lati di un triangolo a,b,c con espressione T_n, con una condizione di rapporto data trovano tutti i perimetri

Le lunghezze laterali $a$, $b$, $c$ di un triangolo $ABC$ sono interi positivi. $T_n=(a+b+c{)}^{2n}-(a-b+c{)}^{2n}-(a+b-c{)}^{2n}+(a-b-c{)}^{2n}$ per qualsiasi numero intero positivo $n$. Se $\frac{T_2}{2T_1}=2023$ e $a>b>c$, determinare tutti i possibili perimetri del triangolo $ABC$.

src_rmo_2023_kvjnv__Q05

Cyclic quadrilateral ABCD, diagonals meet at P, Q on BC with PQ perp AC, prove line joining circumcentres of APD and BQD parallel to AD

The diagonals $AC$ and $BD$ of a cyclic quadrilateral $ABCD$ meet at $P$. The point $Q$ is chosen on the segment $BC$ so that $PQ$ is perpendicular to $AC$. Prove that the line joining the centres of the circumcircles of triangles $APD$ and $BQD$ is parallel to $AD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale ciclico, diagonali che si incontrano a P, Q su BC con PQ perp AC, dimostrare la linea di collegamento dei circoncentri di APD e BQD parallele ad AD

Le diagonali $AC$ e $BD$ di un quadrilaterale ciclico $ABCD$ si incontrano a $P$. Il punto $Q$ è scelto sul segmento $BC$ in modo che $PQ$ sia perpendicolare a $AC$. Prova che la linea che unisce i centri dei circoncircoli dei triangoli $APD$ e $BQD$ è parallela a $AD$.

src_rmo_2023_kvjnv__Q06