Regional Mathematical Olympiad 2023 — Non-KV

Find largest positive integer m so that abcd divides all (a,b,c,d) in S

Let $\mathbb{N}$ be the set of all positive integers and $S=\{(a,b,c,d)\in {\mathbb{N}}^4:a^2+b^2+c^2=d^2\}$. Find the largest positive integer $m$ so that $m$ divides $abcd$ for all $(a,b,c,d)\in S$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il più grande intero positivo m in modo che abcd divida tutti (a,b,c,d) in S

$\mathbb{N}$ sia l’insieme di tutti gli integri positivi e $S=\{(a,b,c,d)\in {\mathbb{N}}^4:a^2+b^2+c^2=d^2\}$. Trova il più grande intero positivo $m$ in modo che $m$ divida $abcd$ per tutti $(a,b,c,d)\in S$.

src_rmo_2023_nonkv__Q01

Semicircle with variable chord CD; show angle and circumcircle conditions

Let $\omega$ be a semicircle with $AB$ as the bounding diameter and let $CD$ be a variable chord of the semicircle of constant length such that $C,D$ lie in the interior of the arc $AB$. Let $E$ be a point on the diameter $AB$ such that $CE$ and $DE$ are equally inclined to the line $AB$. Prove that (a) the measure of $\angle CED$ is a constant; (b) the circumcircle of triangle $CED$ passes through a fixed point.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Semicircolo con CD a corde variabili; indicazione dell’angolo e delle condizioni del circoncircolo

Il $\omega$ deve essere un semicircolo con $AB$ come diametro di confine e il $CD$ deve essere un’accorda variabile del semicircolo di lunghezza costante tale che $C,D$ si trovi all’interno dell’arco $AB$. Il $E$ deve essere un punto del diametro $AB$ in modo tale che $CE$ e $DE$ siano ugualmente incline alla linea $AB$. Prova che a) la misura di $\angle CED$ è una costante; b) il circoncircolo del triangolo $CED$ passa attraverso un punto fisso.

src_rmo_2023_nonkv__Q02

Find natural numbers m and n with digit-sum conditions in base 10

For any natural number $n$, written in base 10, let $s(n)$ denote the sum of all its digits. Find all natural numbers $m$ and $n$ such that $m<n$ and $(s(n){)}^2=m\text{and}(s(m){)}^2=n.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri naturali m e n con condizioni di somma digitali nella base 10

Per qualsiasi numero naturale $n$, scritto nella base 10, $s(n)$ indichi la somma di tutte le sue cifre. Trova tutti i numeri naturali $m$ e $n$ in modo tale che $m<n$ e $(s(n){)}^2=m\text{and}(s(m){)}^2=n.$

src_rmo_2023_nonkv__Q03

Two intersecting circles; perpendicular bisectors and collinearity of midpoints

Let ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ be two intersecting circles with centres $O_1,O_2$ respectively. Let $l$ be a line that intersects ${\Omega }_1$ at points $A,C$ and ${\Omega }_2$ at points $B,D$ such that $A,B,C,D$ are collinear in that order. Let the perpendicular bisector of segment $AB$ intersect ${\Omega }_1$ at points $P,Q$, and the perpendicular bisector of segment $CD$ intersect ${\Omega }_2$ at points $R,S$ such that $P,R$ are on the same side of $l$. Prove that the midpoints of $PR$, $QS$ and $O_1{O}_2$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi che si intersecano; bisettori perpendicolari e collinearità dei punti di mezzo

Il ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ deve essere costituito da due cerchi intersezionati con rispettivamente i centri $O_1,O_2$. La linea $l$ interseca ${\Omega }_1$ nei punti $A,C$ e ${\Omega }_2$ nei punti $B,D$ in modo tale che $A,B,C,D$ siano collineari in tale ordine. Il bisettore perpendicolare del segmento $AB$ interseca ${\Omega }_1$ nei punti $P,Q$ e il bisettore perpendicolare del segmento $CD$ interseca ${\Omega }_2$ nei punti $R,S$ in modo tale che $P,R$ sia sullo stesso lato di $l$. Provare che i punti di mezzo di $PR$, $QS$ e $O_1{O}_2$ sono collineari.

src_rmo_2023_nonkv__Q04

Find positive reals a_1,…,a_n satisfying a sum-of-fractions identity

Let $n>k>1$ be positive integers. Determine all positive real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ which satisfy ${\sum }_{i=1}^n\sqrt{\frac{k{a}_i^k}{(k-1)a_i^k+1}}={\sum }_{i=1}^n{a}_i=n.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca i valori reali positivi a_1,…,a_n che soddisfano un’identità di somma di frazioni

Lasciate che $n>k>1$ siano numeri interi positivi. Determinare tutti i numeri reali positivi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ che soddisfano ${\sum }_{i=1}^n\sqrt{\frac{k{a}_i^k}{(k-1)a_i^k+1}}={\sum }_{i=1}^n{a}_i=n.$

src_rmo_2023_nonkv__Q05

16 points in 4x4 grid; any 7 blue points contain an isosceles right-angled triangle

Consider a set of 16 points arranged in a $4\times 4$ square grid formation. Prove that if any 7 of these points are coloured blue, then there exists an isosceles right-angled triangle whose vertices are all blue.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

16 punti in griglia 4x4; ogni 7 punti blu contiene un triangolo rettangolare uguale a un’osceles

Considera un insieme di 16 punti disposti in una formazione quadrata di griglia $4\times 4$. Dimostra che se uno qualsiasi di questi 7 punti è di colore blu, allora esiste un triangolo rettangolare con uguali ocelli le cui vertici sono tutti blu.

src_rmo_2023_nonkv__Q06