Regional Mathematical Olympiad 2025 — KV/JNV

System of cyclic product equations in nonneg integers, a_i≠1

Solve the following system of equations in nonneg integers $a_1,a_2,\dots ,a_8$ where $a_i\ne 1$ for $i=1,\dots ,8$: $a_1{a}_2=a_3+a_4,$ $a_3{a}_4=a_5+a_6,$ $a_5{a}_6=a_7+a_8,$ $a_7{a}_8=a_1+a_2.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Simmetria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sistema di equazioni di prodotto ciclico in numeri interi non negativi, a_i≠1

Risolvere il seguente sistema di equazioni in numeri interi non negativi $a_1,a_2,\dots ,a_8$ dove $a_i\ne 1$ per $i=1,\dots ,8$: $a_1{a}_2=a_3+a_4,$ $a_3{a}_4=a_5+a_6,$ $a_5{a}_6=a_7+a_8,$ $a_7{a}_8=a_1+a_2.$

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Prove inequality for positive reals with abc=1

Let $a,b,c$ be positive real numbers satisfying $abc=1$. Prove that $\frac{2a^2}{a^2+1}+\frac{2b^2}{b^2+1}+\frac{2c^2}{c^2+1}\le a^2+b^2+c^2.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza dei valori reali positivi con abc=1

$a,b,c$ siano numeri reali positivi che soddisfino $abc=1$. Provare che $\frac{2a^2}{a^2+1}+\frac{2b^2}{b^2+1}+\frac{2c^2}{c^2+1}\le a^2+b^2+c^2.$

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Convex pentagon with symmetry conditions; prove right angle at I

Let $ABCDE$ be a convex pentagon in which $AB=AE$, $CB=CE$, and $\angle CBD=90^{\circ }$. Let the internal bisectors of $\angle EAB$ and $\angle DCB$ intersect at $I$, and let $M$ be the midpoint of $AC$. Prove that $\angle MIC=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Pentagono convex con condizioni di simmetria; prova angolo retto a I

Il $ABCDE$ deve essere un pentagono convexo in cui $AB=AE$, $CB=CE$ e $\angle CBD=90^{\circ }$. Lasciate che i bisettori interni di $\angle EAB$ e $\angle DCB$ si intersecano a $I$, e lasciate che $M$ sia il punto medio di $AC$. Prove che $\angle MIC=90^{\circ }$.

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Count frog paths from (0,0) to (n,2) avoiding consecutive UU or DD

A frog is initially at $(0,0)$ and it reaches $(n,2)$, $n\ge 1$, using the following moves in any order several times: \begin{enumerate} \item[(i)] $R=(1,0)$, that is, if the frog is at $(a,b)$ it goes to $(a+1,b)$; \item[(ii)] $U=(0,1)$, that is, if the frog is at $(a,b)$ it goes to $(a,b+1)$; \item[(iii)] $D=(0,-1)$, that is, if the frog is at $(a,b)$ it goes to $(a,b-1)$. \end{enumerate} In how many ways can the frog go from $(0,0)$ to $(n,2)$, $n\ge 1$, using the above steps subject to the condition that steps of the type $UU$, $DD$ are forbidden?

(For example, for $n=3$, $RDUR$, $DRD$ are admissible paths, while $DDR$, $RUURR$ are not.)

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i percorsi di rana da (0,0) a (n,2) evitando UU o DD consecutivi

Una rana è inizialmente a $(0,0)$ e raggiunge $(n,2)$, $n\ge 1$, utilizzando le seguenti mosse in qualsiasi ordine più volte: \begin{enumerate} \item[(i)] $R=(1,0)$, cioè, se la rana è a $(a,b)$ va a $(a+1,b)$; \item[(ii) $U=(0,1)$, cioè, se la rana è a $(a,b)$ va a $(a,b+1)$; ([iii)] $D=(0,-1)$, cioè, se la rana è a $(a,b)$ va a $(a,b-1)$. \end{enumerate} In quanti modi la rana può passare da $(0,0)$ a $(n,2)$, $n\ge 1$, utilizzando i passaggi di cui sopra, a condizione che i passaggi del tipo $UU$, $DD$ siano proibiti?

(Per esempio, per $n=3$, $RDUR$, $DRD$ sono percorsi ammissibili, mentre $DDR$, $RUURR$ non lo sono.)

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Acute triangle with angle 60°; reflections of altitude feet bisect BC

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $\angle BAC=60^{\circ }$ and $AB<BC<AC$. Let $M$, $N$ be the feet of the altitudes from $B$, $C$ respectively. Suppose $BE$, $CF$ are the altitudes, with $E$ on $CA$ and $F$ on $AB$. Let $X$ be the image of $M$ under reflection in the midpoint of $BF$, and let $Y$ be the image of $N$ under reflection in the midpoint of $CE$. Prove that $XY$ bisects $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con angolo 60°; riflessi di piedi d’altitudine bisetti BC

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con $\angle BAC=60^{\circ }$ e $AB<BC<AC$. $M$ e $N$ siano i piedi delle altitudini rispettivamente da $B$ e $C$. Supponiamo che $BE$, $CF$ siano le altitudini, con $E$ su $CA$ e $F$ su $AB$. L’immagine $X$ deve essere l’immagine di $M$ riflessa nel punto medio di $BF$, e l’immagine $Y$ deve essere l’immagine di $N$ riflessa nel punto medio di $CE$. Provare che $XY$ divide $BC$.

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Digit-sum of a_n^2 equals n^2+n+7 for all n≥0

Define the sequence $\{a_n\}$ as follows: $a_0=49$ and $a_n=10^{a_{n-1}}\cdot a_{n-1}-1$ for $n\ge 1$. Show that $s(a_n^2)=n^2+n+7$ for all $n\ge 0$, where $s(m)$ denotes the sum of digits in the base $10$ representation of a nonneg integer $m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La somma digitali di a_n^2 è uguale a n^2+n+7 per tutte le n≥0

Definire la sequenza $\{a_n\}$ come segue: $a_0=49$ e $a_n=10^{a_{n-1}}\cdot a_{n-1}-1$ per $n\ge 1$. Indicare che $s(a_n^2)=n^2+n+7$ per tutti $n\ge 0$, dove $s(m)$ indica la somma di cifre nella rappresentazione di base $10$ di un intero non negativo $m$.

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