Regional Mathematical Olympiad 2025 — Non-KV

Count configurations of n lines with prescribed intersection points

(a) Let $n\ge 3$ be an integer. Find a configuration of $n$ lines in the plane which has exactly

(i) $n-1$ distinct points of intersection;

(ii) $n$ distinct points of intersection.

(b) Give configurations of $n$ lines that have exactly $n+1$ distinct points of intersection for (i) $n=8$ and (ii) $n=9$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Conta le configurazioni di n linee con punti di intersezione prescritti

(a) Il $n\ge 3$ deve essere un numero intero. Trova una configurazione di linee $n$ nel piano che ha esattamente

• i) $n-1$ punti di intersezione distinti;

(ii) $n$ punti di intersezione distinti.

b) Indicare le configurazioni delle linee $n$ che hanno esattamente $n+1$ punti di intersezione distinti per (i) $n=8$ e (ii) $n=9$.

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Find value of expression given three nonzero reals satisfying a system

Let $a,b,c$ be distinct nonzero real numbers satisfying $a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c}=c+\frac{2}{a}.$ Determine the value of $|a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a|$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il valore dell’espressione data a tre valori reali non zero che soddisfano un sistema

Che $a,b,c$ siano numeri reali non zero distinti che soddisfano $a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c}=c+\frac{2}{a}.$ Determina il valore di $|a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a|$.

src_rmo_2025_nonkv__Q02

Two circles, transversal line, concyclicity and equal lengths

Let $\Omega$ and $\Gamma$ be circles centred at $O_1,O_2$ respectively. Suppose that they intersect in points $A,B$. Suppose $O_1$ is outside $\Gamma$ and $O_2$ is outside $\Omega$. Let $\ell$ be a line not passing through $A$ and $B$ that intersects $\Omega$ at $P,R$ and $\Gamma$ at $Q,S$ so that $P,Q,R,S$ lie on the line in this order. Furthermore, the points $O_1,B$ lie on one side of $\ell$ and the points $O_2,A$ lie on the other side of $\ell$. Given that the points $A,P,Q,O_1$ are concyclic and $B,R,S,O_2$ are concyclic, as well prove that $AQ=BR$.

Topic: Geometria piana Metodo: Backward Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi, linea trasversale, conciclicità e lunghezze uguali

Si deve che $\Omega$ e $\Gamma$ siano rispettivamente cerchi incentrati su $O_1,O_2$. Supponiamo che si incrociano nei punti $A,B$. Supponiamo che $O_1$ sia fuori di $\Gamma$ e $O_2$ sia fuori di $\Omega$. La linea $\ell$ deve essere una linea che non attraversa $A$ e $B$ e che incrocia $\Omega$ a $P,R$ e $\Gamma$ a $Q,S$ in modo tale che $P,Q,R,S$ si trovi sulla linea in questo ordine. Inoltre, i punti $O_1,B$ si trovano su un lato di $\ell$ e i punti $O_2,A$ si trovano sull’altro lato di $\ell$. Considerato che i punti $A,P,Q,O_1$ sono conciclici e $B,R,S,O_2$ sono conciclici, dimostrare anche che $AQ=BR$.

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No positive integer solutions to a Diophantine equation in four variables

Prove that there do not exist positive real numbers $x$ and $y$ such that $x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2025.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Non ci sono soluzioni a numeri interi positivi per un’equazione diofantina in quattro variabili

Prova che non esistono numeri reali positivi $x$ e $y$ in modo tale che $x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2025.$

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Acute triangle, circumcircle, midpoint; prove MH equals circumradius

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB<AC$, orthocentre $H$ and circumcircle $\Omega$. Let $M$ be the midpoint of the minor arc $BC$ of $\Omega$. Suppose that $\angle BAC=60^{\circ }$. Prove that $MH$ is equal to the radius of $\Omega$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangolo acuto, circoncircolo, punto medio; dimostrare che il MH è uguale al circondario *

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con $AB<AC$, orthocentro $H$ e circoncircolo $\Omega$. Il $M$ deve essere il punto medio dell’arco minore $BC$ di $\Omega$. Supponiamo che $\angle BAC=60^{\circ }$. Provare che $MH$ è uguale al raggio di $\Omega$.

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Polynomial with integer coefficients; divisibility by n of p(b)-p(a)

Let $p(x)$ be a nonconstant polynomial with integer coefficients, and let $n\ge 2$ be an integer such that the sequence $p(0),p(p(0)),p(p(p(0))),\dots$ is divisible by $n$. Show that there exist integers $a,b$ such that $0\le a<b\le n-1$ and $n$ divides $p(b)-p(a)$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Principio dei cassetti, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Polinomio con coefficienti interi; divisibilità per n di p(b)-p(a) *

Che $p(x)$ sia un polinomio non costante con coefficienti interi e che $n\ge 2$ sia un intero tale che la sequenza $p(0),p(p(0)),p(p(p(0))),\dots$ sia divisibile da $n$. Mostra che esistono integri $a,b$ in modo che $0\le a<b\le n-1$ e $n$ dividano $p(b)-p(a)$.

src_rmo_2025_nonkv__Q06