Japan IMO Selection Camp 2016 — Selection Camp

Angle bisector, circumcircle tangent, circumcircle intersection angle equality

Let $ABC$ be an acute triangle, and let $M$ be the midpoint of side $BC$. Let $\ell$ be the angle bisector of $\angle BAC$, and let $D$ be the intersection of $\ell$ with the tangent to the circumcircle of triangle $ABC$ at $C$. Let $H$ be a point on $\ell$ such that $\angle ABH=90^{\circ }$. Let $P$ be the second intersection point (other than $C$) of the circumcircle of triangle $CDH$ and the circumcircle of triangle $ABC$. Prove that $\angle CPM=\angle ACB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettore angolare, tangente di circoncircolo, uguale angolo di intersezione di circoncircolo

$ABC$ sia un triangolo acuto e $M$ il punto medio del lato $BC$. $\ell$ sia il bisettore angolare di $\angle BAC$, e $D$ sia l’intersezione di $\ell$ con la tangente al circoncircolo del triangolo $ABC$ a $C$. Il $H$ deve essere un punto su $\ell$ tale che $\angle ABH=90^{\circ }$. Il $P$ deve essere il secondo punto di intersezione (diversi da $C$) del circoncircolo del triangolo $CDH$ e del circoncircolo del triangolo $ABC$. Prova che $\angle CPM=\angle ACB$.

src_selection_camp_2016__Q01

Find minimum n for set with exactly 2015 good partitions

Let $A$ be a set consisting of $n$ distinct positive integers. A pair of subsets $(A_1,A_2)$ is called a good partition if it satisfies the following conditions:

• $A_1\ne \varnothing$, $A_2\ne \varnothing$.
• $A_1\cap A_2=\varnothing$, $A_1\cup A_2=A$.
• The least common multiple of all elements of $A_1$ equals the greatest common divisor of all elements of $A_2$.

Find the smallest value of $n$ such that there exists a set $A$ with exactly $2015$ good partitions. (Here $\varnothing$ denotes the empty set.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova n minimo per set con partizioni buone esattamente 2015

$A$ sia un insieme composto da $n$ diversi interi positivi. Una coppia di sottogruppi $(A_1,A_2)$ è chiamata **buona partizione ** se soddisfa le seguenti condizioni: - $A_1\ne \varnothing$, $A_2\ne \varnothing$. - $A_1\cap A_2=\varnothing$, $A_1\cup A_2=A$. - Il più piccolo multiplo comune di tutti gli elementi di $A_1$ è uguale al più grande divisore comune di tutti gli elementi di $A_2$.

Trova il valore più piccolo di $n$ in modo che esista un insieme $A$ con esattamente $2015$ buone partizioni. (Qui $\varnothing$ indica l’insieme vuoto.)

src_selection_camp_2016__Q02

Twin polynomials: existence for degree n+1, nonexistence for degree n

Let $n$ be an integer with $n\ge 2$. Two real-coefficient polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ are called look-alike if for every integer $i$ with $1\le i\le n$, the sequence $P(2015i),P(2015i-1),\dots ,P(2015i-2014)$ is a rearrangement of $Q(2015i),Q(2015i-1),\dots ,Q(2015i-2014)$.

(a) Prove that there exist two distinct polynomials of degree $n+1$ that are look-alike. (b) Prove that there do not exist two distinct polynomials of degree $n$ that are look-alike.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Induzione, Simmetria, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Polinomi gemelli: esistenza per il grado n+1, non esistenza per il grado n

$n$ sia un numero intero con $n\ge 2$. Due polinomi a coefficiente reale $P(x)$ e $Q(x)$ sono chiamati look-alike se per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le n$, la sequenza $P(2015i),P(2015i-1),\dots ,P(2015i-2014)$ è un riordinamento di $Q(2015i),Q(2015i-1),\dots ,Q(2015i-2014)$.

(a) Prove che esistono due polinomi distinti di grado $n+1$ che sono simili. b) dimostrare che non esistono due polinomi distinti di grado $n$ che siano simili.

src_selection_camp_2016__Q03

Product of fractions minus 1 divisible by an odd prime

Let $m,n$ be positive integers satisfying $m>n$. For $k=1,2,\dots ,n+1$, define $x_k=\frac{m+k}{n+k}$. Suppose that $x_1,x_2,\dots ,x_{n+1}$ are all integers. Prove that $x_1{x}_2\cdots x_{n+1}-1$ is divisible by some odd prime.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prodotto di frazioni min 1 divisibili da un primo odd

$m,n$ siano integri positivi che soddisfino $m>n$. Per $k=1,2,\dots ,n+1$, definire $x_k=\frac{m+k}{n+k}$. Supponiamo che $x_1,x_2,\dots ,x_{n+1}$ siano tutti numeri interi. Prove che $x_1{x}_2\cdots x_{n+1}-1$ è divisibile da qualche primo pari.

src_selection_camp_2016__Q04

Find all function pairs satisfying a rational functional equation

Find all pairs of functions $(f,g)$ defined on the rationals and taking rational values such that for all rational numbers $x,y$, $f(f(x)+yg(x))=(x+1)g(y)+f(y).$

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Simmetria, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di funzioni che soddisfano un’equazione funzionale razionale

Trova tutte le coppie di funzioni $(f,g)$ definite sui razionali e prendi valori razionali in modo tale che per tutti i numeri razionali $x,y$, $f(f(x)+yg(x))=(x+1)g(y)+f(y).$

src_selection_camp_2016__Q05

Minimum handshakes to guarantee infection of all 2015 people

There are $2015$ people. Initially, exactly $1$ person is infected with IMO fever, but it is unknown who that person is. When two people shake hands, if one of them was infected, the other also becomes infected. What is the minimum number of handshakes that must occur in order to guarantee that all $2015$ people are infected, regardless of who the initial infected person is?

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di strette di mano per garantire l’infezione di tutte le persone del 2015

Ci sono persone $2015$. Inizialmente, esattamente la persona $1$ è infetta dalla febbre IMO, ma non è noto chi sia. Quando due persone si stringono la mano, se uno di loro è infetto, l’altro diventa infetto. Qual è il numero minimo di strette di mano che deve verificarsi per garantire che tutte le persone $2015$ siano infette, indipendentemente da chi sia la persona infetta iniziale?

src_selection_camp_2016__Q06

Find minimum constant k for a sum inequality over positive reals

Find the smallest real number $k$ such that for every integer $n\ge 2$ and every sequence of positive real numbers $a_0,a_1,\dots ,a_n$, $\frac{1}{a_0+a_1}+\frac{1}{a_0+a_1+a_2}+\cdots +\frac{1}{a_0+a_1+\cdots +a_n}<k\left(\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Simmetria, Casework Abilita: Stima, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca la costante minima k per una disuguaglianza di somma rispetto ai valori reali positivi

Trova il numero reale più piccolo $k$ in modo che per ogni intero $n\ge 2$ e ogni sequenza di numeri reali positivi $a_0,a_1,\dots ,a_n$, $\frac{1}{a_0+a_1}+\frac{1}{a_0+a_1+a_2}+\cdots +\frac{1}{a_0+a_1+\cdots +a_n}<k\left(\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right).$

src_selection_camp_2016__Q07

Ratio BT/BM when circle through B,M meets sides at P,Q and BPTQ is parallelogram on circumcircle

In an acute triangle $ABC$, let $M$ be the midpoint of side $AC$. A circle $\omega$ passes through $B$ and $M$, and meets sides $AB$ and $BC$ at points $P$ and $Q$ respectively (with $P\ne B$ and $Q\ne B$). Let $T$ be the point such that $BPTQ$ is a parallelogram. If $T$ lies on the circumcircle of triangle $ABC$, find the value of $\frac{BT}{BM}$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ratio BT/BM quando il cerchio attraversa B,M incontra i lati a P,Q e BPTQ è parallelo sul cerchio

In un triangolo acuto $ABC$, $M$ deve essere il punto medio del lato $AC$. Un cerchio $\omega$ attraversa $B$ e $M$ e incontra i lati $AB$ e $BC$ rispettivamente nei punti $P$ e $Q$ (con $P\ne B$ e $Q\ne B$). Il punto $T$ deve essere tale che $BPTQ$ sia un parallelo. Se $T$ si trova sul circoncircolo del triangolo $ABC$, si trova il valore di $\frac{BT}{BM}$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

src_selection_camp_2016__Q08

Find all prime quadruples p<q<r<s with p^s - r^q = 3

Find all quadruples of primes $(p,q,r,s)$ with $p<q<r<s$ satisfying $p^s-r^q=3.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i quadrupli primari p<q<r<s con p^s - r^q = 3

Trova tutti i quadrupli di numeri primi $(p,q,r,s)$ con $p<q<r<s$ soddisfacente $p^s-r^q=3.$

src_selection_camp_2016__Q09

Maximum n for snake-like number placement in 2015×2015 grid

In a $2015\times 2015$ grid, the integers $1,2,\dots ,n$ are written, one in each of $n$ distinct cells, satisfying the following conditions:

• For every integer $i$ with $1\le i\le n-1$, the cell containing $i$ and the cell containing $i+1$ share an edge, and the cell containing $n$ and the cell containing $1$ share an edge. Moreover, no two cells that both contain numbers share an edge except for those pairs described above.
• For any integers $i,j$ with $1\le i<j\le n$, if the cell containing $i$ and the cell containing $j$ share only a corner (vertex), then $\min \{j-i,n+i-j\}=2$.

Find the maximum possible value of $n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Colorazione, Estremalità, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massimo n per il posizionamento di numeri simili a serpenti nel 2015×2015 grid

In una griglia $2015\times 2015$ sono scritti i numeri interi $1,2,\dots ,n$, uno in ciascuna delle celle distinte $n$, soddisfacendo le seguenti condizioni: - Per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le n-1$, la cellula contenente $i$ e la cellula contenente $i+1$ condividono un bordo, e la cellula contenente $n$ e la cellula contenente $1$ condividono un bordo. Inoltre, nessuna delle due celle che contengono entrambi i numeri condivide un bordo, eccetto per quelle coppie descritte sopra. - Per tutti gli integri $i,j$ con $1\le i<j\le n$, se la cella contenente $i$ e la cella contenente $j$ condividono solo un angolo (vertice), allora $\min \{j-i,n+i-j\}=2$.

Trova il valore massimo possibile di $n$.

src_selection_camp_2016__Q10

Sequences defined by gcd and lcm recurrence eventually become periodic

Let $a_0,a_1,\dots$ and $b_0,b_1,\dots$ be sequences of positive integers satisfying $a_0,b_0\ge 2$ and, for every non-negative integer $n$, $a_{n+1}=\gcd (a_n,b_n)+1,b_{n+1}=\mathrm{lcm}(a_n,b_n)-1.$ Prove that there exist a non-negative integer $N$ and a positive integer $t$ such that $a_{n+t}=a_n$ holds for every integer $n\ge N$. (Here $\gcd (x,y)$ and $\mathrm{lcm}(x,y)$ denote the greatest common divisor and least common multiple of positive integers $x$ and $y$, respectively.)

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Invarianti, Ricorsione, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Le sequenze definite dalla ricorrenza gcd e lcm diventano infine periodiche

Che $a_0,a_1,\dots$ e $b_0,b_1,\dots$ siano sequenze di integri positivi che soddisfino $a_0,b_0\ge 2$ e, per ogni intero non negativo $n$, $a_{n+1}=\gcd (a_n,b_n)+1,b_{n+1}=\mathrm{lcm}(a_n,b_n)-1.$ dimostri che esiste un intero non negativo $N$ e un intero positivo $t$ tale che $a_{n+t}=a_n$ sia valido per ogni intero $n\ge N$. (Qui $\gcd (x,y)$ e $\mathrm{lcm}(x,y)$ indicano rispettivamente il più grande divisore comune e il più piccolo multiplo comune degli integri positivi $x$ e $y$.)

src_selection_camp_2016__Q11

Quadrilateral with inscribed circles on four sub-quadrilaterals: three lines concurrent or parallel

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral, and let $P,Q,R,S$ be points on sides $AB,BC,CD,DA$ respectively. Let $O$ be the intersection of segments $PR$ and $QS$. Suppose that each of the quadrilaterals $APOS$, $BQOP$, $CROQ$, and $DSOR$ has an inscribed circle. Prove that the three lines $AC$, $PQ$, and $RS$ either all meet at a single point or are mutually parallel.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterali con cerchi incisi su quattro sottoquadrilaterali: tre linee simultanee o parallele

$ABCD$ sia un quadrilaterale convexo e $P,Q,R,S$ punti sui lati $AB,BC,CD,DA$ rispettivamente. Il segmento $O$ deve essere l’intersezione tra $PR$ e $QS$. Supponiamo che ciascuno dei quadrilaterali $APOS$, $BQOP$, $CROQ$ e $DSOR$ abbia un cerchio inciso. Prove che le tre linee $AC$, $PQ$ e $RS$ si incontrano in un unico punto o sono reciprocamente parallele.

src_selection_camp_2016__Q12